D r HILBERT — PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 



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Boltzmann, Volkmann. Il serait donc très désirable 

 de voir une lâche analogue entreprise aussi par des 

 mathématiciens. Il serait, par exemple, intéres- 

 sant d'établir d'une manière rigoureuse les pas- 

 sages à la limite qui, dans le livre de M. Boltzmann, 

 conduisent de la conception atomistique au mouve- 

 ment des corps continus. 



Pour constituer les axiomes de la Physique sur 

 le modèle de ceux de la Géométrie, nous essaierons 

 d'embrasser, par un petit nombre d'axiomes, une 

 classe aussi générale que possible de phénomènes 

 physiques, puis d'arriver aux théories spéciales 

 par adjonclions successives de nouveaux axiomes. 

 De plus, une làclie revient aux mathématiciens: 

 celle de vérifier exactement, dans chaque cas, si le 

 nouvel axiome ajouté n'est pas en contradiction 

 avec les précédents. Le physicien se voit souvent 

 forcé, par les résultats de ses expériences, de faire, 

 au cours même de la théorie, de nouvelles hypo- 

 thèses, en se liant, relativement à leur compatibi- 

 lité, à ses expériences mêmes et à un certain sens 

 physique: c'est colle marche qui est logiquement 

 inacceptable. 



II. — Problèmes empruntés a l'Aritdmétique 



ET A l'AlGÈBIIE. 



Après avoir, dans ce qui précède, envisage' 

 quelques questions relatives aux principes des dif- 

 férentes branches des Mathématiques, nous allons 

 passer à des problèmes plus spéciaux empruntés 

 à ces différentes branches, en commençant par 

 l'Arithmétique et l'Algèbre. 



g 1. — Irrationalité et transcendance 

 de certains nombres. 



Les théorèmes arithmétiques de M. Hermite sur 

 la fonction exponentielle et leur continuation par 

 M. Lindemann exciteront l'admiration de toutes 

 les générations de mathématiciens. Mais il serait 

 nécessaire d'aller plus loin dans la voie ainsi frayée. 

 Une classe de problèmes me semble s'offrir tout 

 d'abord. Quand nous reconnaissons qu'une fonction 

 transcendante, parmi celles qui jouent un rôle en 

 analyse, prend des valeurs algébriques pour cer- 

 tains arguments algébriques, ce fait nous apparaît 

 comme très remarquable. Tout en sachant qu'il 

 existe des fonctions transcendantes qui, pour toutes 

 les valeurs algébriques de la variable, prennent des 

 valeurs algébriques et même rationnelles, nous 

 tiendrons cependant pour très probable quelatrans- 

 cendante e 2 ^ par exemple, qui, pour les valeurs 

 rationnelles de z, prend des valeurs toutes algébri- 

 ques, est au contraire toujours trancendante lorsque 

 / prend une valeur algébrique, mais irrationnelle. 

 Géométriquement, cette affirmation s'énoncerait 



ainsi : Si, dans un triangle isocèle, le rapport de 

 l'angle à lu base ù l'angle au sommet '-si algébrique, 

 mais irrationnel, le rapport de la base au côté est 

 toujours transcendant. Malgré la simplicité de cet 

 énoncé et sa ressemblance avec ceux de MM. Her- 

 mite et Lindemann, je tiens sa démonstration pour 

 très difficile, ainsi que celle du théorème suivant : 

 U expression o$, formée avec une luise algébrique ■/. 

 et un exposant algébrique irrationnel^ (par exemple 

 le nombre 2 V ' :> , ou / ' représente toujours un 



nombre trnnsi-endunl. (les démonstrations condui- 

 raient sans doute à de nouvelles méthodes et a de 

 nouvelles vues suc la nature de certaines transcen- 

 dantes. 



■s 2. — Problèmes sur les nombres premiers. 



Dans la théorie de la distribution des nombres 

 premiers, des progrès essentiels ont été faits dans 

 ces derniers temps par MM. Hadamard, de La 

 Vallée Poussin, von Mangoldt et d'autres. Pour la 

 complète résolution des problèmes que pose le 

 mémoire de Riemann « Sur le nombre des nombres 

 premiers inférieurs à une quantité donnée », il 

 faut cependant encore prouver l'exactitude de 

 l'assertion de Riemann : les zéros de la l'unc- 

 tion-Ç(s), représentée par la série : 



i i 1 

 «« = 1 + » + » + + +-' 



1 



ont Ions pour partie réelle - (si l'on fait abstrac- 

 tion de- zéros entiers négatifs connus). Une fois 

 celle démonstration obtenue, resterait à étudier 

 de plus près la série infinie par laquelle Riemann 

 représente le nombre des nombres premiers infé- 

 rieurs à x et à décider, en particulier, si la dif- 

 férence entre ce nombre et le logarithme intégral 



1 



de x n'est, en effet, que de 1 ordre - en x, et 



également, si les termes dépendant des premiers 

 zéros complexes de Ç(s) déterminent réellement 

 la condensation, par places, qui se manifeste dans 

 les énumérations de nombres premiers. 



Nous serons peut-être alors en état d'aborder 

 la solution rigoureuse du problème de Goldbach : 

 Tout nombre pair est-il la somme de deux nombres 

 premiers:' ou de celui-ci : Existe-t-il une infinité 

 de nombres premiers différant entre eux de 

 deux unités, ou, plus généralement : Y équation 

 ax J r ] ) y-) r e = Q, où les coefficients a,b,c sont 

 premiers entre eux deux à deux, est-elle toujours 

 soluble en nombres premiers x,y ? 



Mais je considère comme non moins intéressant, 

 et d'une portée peut-être plus grande, l'extension 

 des résultats obtenus sur la distribution des 

 nombres premiers ordinaires à la distribution des 



