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D r HILBERT — PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 



idéaux premiers dans un corps de nombres quel- 

 conque donné k, question qui se ramène à l'élude 

 de la fonction, correspondant au corps considéré, 



^=24- 



la somme étant étendue à tous les idéaux j du 

 corps k et n(J) représentant la norme de j. 



g 3. — Caractères topologiques des courtes 

 et des surfaces algébriques. 



Le nombre maximum de traits fermés et séparés 

 dont se compose une courbe plane algébrique 

 d'ordre n a été déterminé par M. llaniack ' ; reste 

 à se demander quelle situation respective ces traits 

 peuvent occuper dans le plan. Pour les courbes 

 du 6 e ordre, j'ai pu — par une voie assez indirecte 

 — me convaincre que les 11 traits possibles d'après 

 les résultats de Harnack ne peuvent pas être exté- 

 rieurs les uns aux autres, mais qu'il doit toujours 

 y en avoir un auquel un seul autre soit intérieur el 

 les neuf restants extérieurs, ou inversement. Une 

 étude approfondie des relations des traits entre 

 eux, dans le cas du nombre maximum, me parait 

 aussi intéressante que la recherche correspondante 

 du nombre, de la forme et de la situât ion des nappes 

 d'une sur/are algébrique dans l'espace; jusqu'ici, on 

 ne sait même pas encore combien une surface du 

 quatrième ordre peut posséder de nappes séparées. 



Je joindrai à ce problème purement algébrique 

 une question qui me semble pouvoir s'aborder par 

 la même méthode de variation continue des coef- 

 ficients et dont la réponse aurait une importance 

 toute pareille, pour la topologie des courbes dé- 

 finies par des équations différentielles : la question 

 du nombre et de la situation des cycles-limites de 

 M. Poincarê pour une équation du premier ordre 

 et du premier degré de la forme : 





où X el Y sont des polynômes du /j 1 "" degré 

 en x et y. 



111. 



Division de i. 'espace en polyèdres égaux. 



Lorsqu'on cherche les groupes de déplacements 

 dans le plan pour lesquels existe un domaine 

 fondamental, on sait que la réponse es) lies dif- 

 férente suivant qu'un considère un plan Kieinan- 

 uit'ii (elliptique), Euclidien ou Lobatschewskien 

 (hyperbolique). Dans le cas elliptique, il y a un 

 nombre fini de sortes de groupes et chacun d'eux 

 comprend un nombre fini de répétitions du domaine 

 fondamental pour remplir le plan tout entier sans 



1 Nalh. Annalcn. tome V 



lacunes. Sur le plan hyperbolique, il y a un nombre 

 infini de catégories essentiellement différentes de 

 domaines fondamentaux (les polygones bien connus 

 de M. Poincarê); pour recouvrir entièrement le 

 plan, il faut un nombre infini de domaines égaux 

 à l'un de ces polygones. Le cas du plan euclidien 

 est intermédiaire : car alors il n'y a qu'un nombre 

 fini de groupes de déplacements (à domaine fon- 

 damental) essentiellement distincts; mais, dans 

 chacun d'eux, le plan ne peut être recouvert 

 tout entier que par une infinité de domaines 

 homologues entre eux. 



Les mêmes conclusions sont valables dans l'espace 

 à trois dimensions. La limitation du nombre des 

 groupes de déplacements dans l'espace elliptiqul 

 est une conséquence immédiate d'un théorème de 

 M. Jordan. Les groupes de l'espèce hyperbolique 

 ont été étudiés dans les ferons sur les fonetioim 

 nul amorphes de MM. Fricke et Klein, et enfin 

 MM. Fedorow, Schœnflies, Rohn ont démontré 

 que, dans l'espace euclidien, il n'y a qu'un nombre, 

 fini de catégories distinctes de groupes de dépla- 

 cements à domaine fondamental. 



Mais, tandis que les démonstrations relatives à 

 l'espace elliptique et à l'espace hyperbolique sont 

 immédiatement valables, quel que soit le nombre 

 des dimensions, la généralisation du théorème 

 relatif à l'espace euclidien semble offrir de notable! 

 difficultés, de sorte qu'il serait désirable de recbem 

 cher si, dans l'espace euclidien à n dimensions, le 

 nombre des catégories esssentiellemcnt dislinctM 

 de groupes de déplacements à domaine fondamentm 

 est encore fini. 



De plus, on peut aussi demander s'il existe des 

 systèmes de polyèdres égaux remplissant l'espace 

 entier sans lacunes, sans que l'un de ces polycdreW 

 soit domaine fondamental d'un groupe de déplaei- 

 ments. Je signalerai également une question voi- 

 sine, importante pour la Théorie des Nombres e| 

 aussi, sans doule, pour la Physique et la Chimie: 

 étant donné une infinité de corps d'une même 

 forme donnée (par exemple, des sphères de rayon 

 donné ou des tétraèdres réguliers d'arête donnée! 

 comment peut-on les emballer le plus serré pos- 

 sible, c'est-à-dire les placer de manière que le 

 rapport de l'espace rempli à l'espace non rempli 

 soit le plus grand possible? 



IV. — Problèmes empruntés a la tuéokie 



DES FONCTIONS. 



Si nous considérons le développement de la Théo- 

 rie des Fonctions dans ce siècle, nous remarquons, 

 avant tout, le rôle fondamental que jouent et que 

 continueronl sans doule à jouer les fondions que 

 l'on nomme anal] tiques. 



