D r HILBERT — PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 



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On pourrait, de bien des manières, abstraire, de 

 l'infinie variété des fonctions possibles, des classes 

 étendues de fonctions plus particulièrement inté- 

 ressantes. On peut envisager, par exemple, la 

 classe des fonctions satisfaisant à une équation 

 différentielle algébrique (ordinaire ou aux déri- 

 vées partielles . Mais, nous pouvons le remar- 

 quer immédiatement, nous laisserions ainsi de 

 côté certaines fonctions issues de la Théorie des 

 Nombres et qui ont pour nous une très grande 

 importance. C'est ainsi que la fonction Ç s) ne 

 satisfait à aucune équation différentielle algé- 

 brique, comme on le voit aisément à l'aide du 

 théorème analogue de Holder sur la fonction 1' et 

 de la relation connue entre s [s] et Ç l-s . 



D'un autre ente, si nous considérions (comme 

 nous y conduisent des raisons arithmétiques et 

 géométriques) la classe de toutes les fonctions 

 Continues et indéfiniment dérivables, nous serions 

 alors privés de l'instrument si commode que nous 

 fournissent les séries de puissances el obligés de 

 renoncer à la propriété d'après laquelle la fonction 

 est déterminée par ses valeurs dans un intervalle 

 aussi petit qu'on veut. Tandis que notre première 

 limitation du domaine fonctionnel était trop étroite, 

 celle-ci est trop large. 



Au contraire, la notion de fonction analytique 

 embrasse tout le trésor des fonctions les plus im- 

 portantes pour la Science, qu'elles nous viennent 

 de la Théorie des Nombres, de la Théorie des Equa- 

 tions différentielles ou de la Théorie des Équations 

 fonctionnelles algébriques, ou de la (iéométrie ou 

 de la Physique mathématique. C'est par là que les 

 fonctions analytiques occupent à bon droit le pre- 

 mier rang dans l'ensemble des fonctions. 



11. — Caractère analytique de certaines fonctions 

 rencontrées en Calcul des Variations. 



In fait des plus remarquables, au point de vue 

 delà Théorie des Fonctions analytiques, est qu'il 

 existe des équations aux dérivées partielles dont 

 les intégrales sont toutes nécessairement des fonc- 

 tions analytiques: qui, en un mot, n'admettent que 

 des solutions analytiques. Les plus connues de ces 

 équations sont l'équation des potentiels : 



(/x 2_f " d}*~' 



:0. 



el certaines équations linéaires étudiées par M. Pi- 

 card, ainsi que l'équation : 



nV d*f 



c'\ 



l'équation des surfaces minima et d'autres. Le 

 plus grand nombre de ces équations ont un carac- 

 tère commun: elles sont les équations de Lagrange 



correspondant à certains problèmes de Calcul 

 des Variations, lesquels sont de la forme : 



//'"- 



q, z; x,y) dxdy = Minium m 



r dz dz~\ 

 [P = T^=dy\ 



la fonction F satisfaisant, pour tous les arguments 

 que l'on a à considérer, à l'inégalité : 



ri' F d'F 

 dp" dq> - 



\dpdq) > 



et étant d'ailleurs analytique. Nous dirons qu'un 

 tel problème de Calcul des Variations est régulier. 

 Les problèmes de Calcul des Variations réguliers 

 sont ceux qui jouent le rôle le plus important en 

 Géométrie, en Mécanique et en Physique mathé- 

 matique, et il y a lieu de se demander si leurs 

 solutions ne sonl pas nécessairement analytiques, 

 c'est-à-dire si toute équation aux dérivées par- 

 tielles de Lagrange correspondant à un problème 

 régulier de (Jalcul des Variations n'a pas la pro- 

 priété de n'admettre que des suintions analytiques, 

 même lorsque — cornue' c'esl le cas pour le pro- 

 blème de Dirichlet, — on détermine l'intégrale par 

 des valeurs au contour quelconques, analytiques on 

 non. 



Je remarquerai encore qu'il existe, par exemple, 

 des surfaces à courbure constante négative repré- 

 sentées par des fonctions continues el dérivables, 

 mais non analytiques, tandis que, probablement, 

 toute surface à courbure constante positive est 

 forcémenl analytique. Ou sait que les surfaces à 

 courbure constante positive sonl liées au problème 

 régulier de Calcul des Variations qui consiste à 

 faire passer par une courbe fermée de l'espace la 

 surface déplus petite élendue possible parmi celles 

 qui enferment avec une surface donnée un volume 

 donné. 



g 2. — Existence d'équations différentielles linéaires 

 à groupe de monodronie donné. 



Dans la Théorie des Équations différentielles 

 linéaires à une variable indépendante z, je signa- 

 lerai un problème auquel Riemann paraît avoir 

 déjà songé el qui consiste à montrer qu'iV existe 

 toujours une équation différentielle linéaire de la 

 élusse <le Furhs ayant des points singuliers tiennes 

 etun groupe de monodromie donné. Cette question 

 exige, par conséquent, la recherche de n fonctions 

 de la variable z, qui soient régulières dans le plan 

 de cette variable, à l'exception des points singu- 

 liers donnés; en chacun de ceux-ci, elles ne peuvent 

 devenir infinies qu'avec un ordre fini et, lorsque la 

 variable z décrit un contour enveloppant ces points, 

 elles doivent subir les substitutions linéaires don- 

 nées. 



L'existence de pareilles équations différentielles 



