D r HILBERT — PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 



est rendue vraisemblable par l'énuméralion des 

 constantes, mais une démonstration rigoureuse n'a 

 pu être obtenue que dans le cas particulier où les 

 racines des équations fondamentales relatives aux 

 substitutions données sont toutes de module 1. 

 Cette démonstration a été donnée par M. Schle- 

 singer, à l'aide des fonctions zétafuchsiennes de 

 M. Poincaré. 



g 3. — Expression de deux variables liées par une 

 relation analytique en fonction uniforme d'une 

 même troisième. 



Comme l'a montré M. Poincaré, toute relation 

 algébrique à deux variables peut être uniformisée 

 par les fonctions automorphes d'une variable, 

 c'est-à-dire que, étant donnée une équation algé- 

 brique quelconque à deux variables, on peut lou- 

 eurs remplacer celles-ci par des fonctions uni- 

 formes et automorphes d'un paramètre auxiliaire, 

 de telle sorte qu'après cetLe substitution l'équation 

 donnée soit une identité par rapport à ce para- 

 mètre. La généralisation de ce théorème fonda- 

 mental à des relations analytiques quelconque el 

 non pas algéhriques) à deux variables a été égale- 

 ment abordée avec succès par M. Poincaré, sui- 

 vant une voie toute différente de celle qui l'avait 

 mené au but dans le problème spécial. Toutefois, 

 a démonstration de M. Poincaré ne nous assure 

 point qu'il soit possible de choisir les fonctions 

 uniformes du nouveau paramètre de telle sorte 

 que, en faisant décrire à ce paramètre tout le 

 domaine régulier de ces fonctions, on ait effective- 

 ment tous les points ordinaires du domaine analy- 

 tique proposé. 



Au contraire, il semble que, dans les recherches 

 de M. Poincaré, outre les points de ramification 

 on doive encore, en général, excepter une infinité 

 de points du domaine donné, auxquels on ne par- 

 vient que pour des valeurs limites du paramètre. 



Élucider cette difficulté me parait une chose bien 



désirable, en considération de l'imporlance fonda- 

 mentale du problème de M. Poincaré. 



Un autre problème de même nature s'offre en 

 même temps que le précédent : c'est l'uniformisa- 

 tion des équations à plus de deux variables — pro- 

 blème que l'on sait résoudre dans un grand nom- 

 lire de cas particuliers, et dont les récents travaux 

 de M. Picard sur les fonctions algébriques de deux 

 variables semblent préparer la solution générale. 



V. — Conclusion. 



Les problèmes qui précèdent ne sont que Acs\ 

 exemples de problèmes; ils suffisent cependant à' 

 montrer la richesse et la multiple extension de la) 

 science mathématique actuelle. Une question s'im-- 

 pose : les Mathématiques ne sont-elles pas des-] 

 tinées à se fractionner (comme il est, depuis' 

 longtemps, arrivé à d'autres sciences) en sciences 

 partielles, dont les représentants respectifs se com- j 

 prendront à peine entre eux et dont les rapports 

 se relâcheront de plus en plus? Je ne le crois ni ne , 

 le souhaite; la science mathématique est, à mon 

 sens, un tout indivisible, un organisme dont la 

 vitalité dépend de la cohésion de toutes ses parties. 

 Dans la variété des matières traitées en Mathéma- 

 tiques, nous reconnaissons l'identité des moyens 

 logiques, la parenté des idées. D'ailleurs, à me- 

 sure qu'une théorie mathématique s'étend, s;i 

 construction s'harmonise de plus en plus et dis 

 relations insoupçonnées se découvrent entre les i 

 branches jusque-la séparées de la Science. C'est j 

 ainsi que, dans leur extension, les Mathématiques 

 ne perdent point leur caractère unitaire, mais le 

 manifestent de plus en plus clairement '. 



D. Hilbert, 



Professeur à l'Université de Gœttingne. 



1 Lauteur a exposé plus amplement ces idées au Congrès 

 international des Mathématiciens. On en trouvera le déve^ 

 loppement technique dans les Gôttingeû Naehrichten et 

 dans les Archiv fur Mathematik und Physik. 



