1-2 ANNÉE 



ir» MARS l'.iul 



Revue générale 



des Sciences 



pures et appliquées 



ujklBRARY 



Directeur : LOUIS OLIVIER, Docteur es sciences. 



Adresser tout ce <i"i concerne la rédaction a H. l 0LIV1RR, .-'. rue du Général Foy, Paris. — La reproduction et la traductioi I di 



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CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



S I . — Mathématiques 



Une nouvelle propriété de la Sphère. Les 

 Surfaces pseudo-sphériques et la Géométrie 

 non euclidienne. — De récents travaux viennent 

 de mettre une luis de plus en lumière la différence qui 

 existe entre les théorèmes que l'on peut énoncer sur 

 fine portion de surface, et ceux qu'on peut énoncer sur 

 les surfaces entières. 



C'est ainsi que l'un des résultats les plus importants 

 de la Théorie générale des Surfaces est le suivant : Une 

 surface étant donnée, il en existe une infinie variété 

 d'aulres qui sont applicables sur la première, c'est- 

 à-dire qui lui correspondent de manière qu'une ligne 



quelc |uc tracer sur l'une de ces surfaces ait même 



longueur que la ligne homologue tracée sur la surface 

 donnée. Pour trouver une de ces surfaces, il suffit de 

 ■ ouver une solution quelconque (à certains cas excep- 

 tionnels près) d'une certaine équation aux dérivées 

 partielles. 



Par exemple, il existe une infinité de surfaces appli- 

 cables sur la sphère; ce qui revient à dire qu'il existe 

 une infinité de surfaces ayant leur courbure totale 

 constante. 



Mais il faut se garder de donner à ces théorèmes une 

 lignification qu'ils n'ont pas. Leur sens est celui-ci : 

 l'ue portion suffisamment restreinte quelconque d'une 

 surface quelconque étant donnée, il existe d'autres 

 portions de surface applicables sur la première. 



Supposons, au contraire, qu'il s'agisse de surfaces 

 Entières : alors les conclusions peuvent changer du tout 

 au tout. C'est ainsi que l'on a les propositions sui- 

 vantes : 



La sphère est la seule surface fermée et sans singu- 

 larités qui soit à courbure constante positive; 



Il n'existe aucune surface fermée et sans singularités 

 qui suit applicable sur une sphère, sans lui être égale; 

 propositions qui résultent des travaux de MM. Min- 

 Kowski, Liebmann, Hilbert, auxquels nous faisions 

 allusion en commençant. 



Il est même probable que, conformément à une vue 

 déjà ancienne de Minding, et par analogie avec ce qui 

 se passe pour les polyèdres convexes d'après un théo- 

 rème connu de Cauchy, le théorème de l'iudéfonna- 



REVl'E GÉNÉIIALE DES SCIENCES, 1901. 



hilité de la sphère s'étend à toute surface fermée et 

 convexe. En tout cas, cette conclusion esl d'ores et 

 déjà établie pour une déformation infiniment petite. 



De même, si l'on cherche à déterminer une surface 

 en se donnant, en fonction des cosinus directeurs de 

 la normale, la courbure totale ou la courbure moyenne, 

 on esl conduit à une équation aux dérivées partielles 

 aisée à former : il semble donc qu'on ail une infinité 

 de solutions, dépendant de fonctions arbitraires. C'esl 

 bien ce qui a lieu pour des portions de surfaces, mais 

 non pour des surfaces entières. Dans le cas «le sur- 

 faces fermées convexes, sans qu'il soit encore établi que 

 la solution (si elle existe) est unique, on esl déjà 

 assuré que les solutions sont isolées, c'est-à-dire que. 

 l'une d'elles étant donnée, il n'en existe pas d'autre 

 infiniment voisine de la première. 



Enfin,. le même ordre de recherches a conduit 

 M. Hilbert à la solution d'une question qui intéresse 

 tout particulièrement l'histoire et les principes de la 

 Géométrie. On sait que le procédé employé pour démon- 

 trer en toute rigueur que la Géométrie non euclidienne 

 ne conduit à aucune contradiction consiste à réaliser 

 cette géométrie par un changement Convenable 

 apporte aux conditions dans lesquelles se place la i.o 

 métrie ordinaire. On avait cru tout d'abord arriver au 

 but en remplaçant le plan par nue autre surface, la 

 pseudosphère de Heltrami, laquelle est à courbure 

 constante négative. Il n'en était rien : la pseudosphère, 

 qui présente une ligne singulière, ne pouvait être uti- 

 lisée que dans une région limitée à cette ligne et, par 

 conséquent, ne pouvait représenter qu'une partie du 

 plan non euclidien. 



Depuis, on a obtenu la démonstration demandée en 

 remontant [dus haut, en modifiant la définition même 

 de la longueur d'une ligne. Mais il restait à savoir si 

 la voie primitivement suivie permettrait de parvenir 

 au même résultat, en remplaçant la pseudosphère de 

 lîeltrami par une autre surface, également à courbure 

 négative, mais dépourvue de singularités. 



La question vient d'être résolue par la négative : une 

 telle surface ne peut exister. 



.Nous ne pouvons parler ici des raisonnements par 

 lesquels ces différents théorèmes ont été établis. Disons 

 seulement qu'ils nous montrent combien la rigueur et 



