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LIEUTENANT PERRIER — PASCAL 





vention du Calcul des Probabilités; sa gloire est 

 assez belle; il est inutile de la grandir en dimi- 

 nuant celle de Pascal et Fermât. Ceux-ci ne par- 

 tagent avec personne l'honneur d'avoir ouvert à 

 leurs successeurs une route féconde de l'Analyse. 



II. — LA ROULETTE. 



Nous arrivons aux travaux de Pascal sur la 

 roulette. Un sait la place considérable occupée par 

 cette courbe dans les recherches mathématiques 

 du xvn c siècle. Elle doit sa célébrité autant à ses 

 nombreuses et remarquables propriétés, qu'aux 

 querelles fameuses qu'elle a suscitées, méritant 

 d'être appelée par Montucla « l'Hélène » ou « la 

 pomme de discorde » des géomètres. Tout a été 

 dit sur elle, depuis Groningius ' et Carlo Dati ' 

 jusqu'à Bertrand '; nous n'avons donc nullement la 

 prétention d'analyser les innombrables écrits qu'elle 

 a fait naître, même en n'en retenant que ce qui 

 concerne spécialement Pascal. La question de la 

 roulette est d'ailleurs étroitement liée à celle, plus 

 générale, des origines du Calcul intégral. Au le.mps 

 de Pascal, tout comme aujourd'hui, des procédés 

 sommatoires étaient indispensables pour la recti- 

 fication des lignes courbes, la quadrature des sur- 

 faces planes pu courbes et la cubature des volumes, 

 problèmes suggérés par la considération de la rou- 

 lette ou d'autres courbes. On peut dire que chaque 

 géomètre imagina alors les siens pourles appliquer 

 aux ras particuliers qu'il avait en vue. Aussi, le 

 Pascal précurseur du Calcul intégral ne peut-il être 

 séparé du Pascal qui, sous le nom de Detlonville, 

 défiait tous les géomètres de l'Europe de trouver 

 les solutions de certains problèmes sur la roulette. 

 Nous les étudierons ensemble, après avoir donné 

 un rapide aperçu des travaux antérieurs. 



Celte étude ne peut être poussée bien loin si l'on 

 s'interdit, ce qui est notre cas, toute formule, toute 

 figure et tout développement exclusivement mathé- 

 matique. H faut se borner à l'historique des faits 

 et à quelques généralités mathématiques indispen- 

 sables. Le lecteur insuffisamment versé dans les 

 •sciences devra passer celles-ci; mais il pourra 

 quand même s'intéresser à celui-là, et se faire une 

 idée 'lu génie mathématique «le Pascal et de quel- 

 ques-uns de ses rivaux. En ce qui concerne le 

 lecteur déjà assez, au courant des questions de 

 Géométrie et d'Analyse, noire but sérail atteint si 

 nous pouvions lui inspirer le désir d'approfondir, 

 parmi les œuvres mêmes de Pascal, les opuscules 

 qui accompagnent la - Lettre de Dettonyille à Car- 

 cavi ». 11 pourra se rendre compte des procédés 



sommatoires de Pascal et voir combien, si primitifs 

 qu'ils nous paraissent aujourd'hui , ils étaient 

 remarquables pour l'époque, puisqu'ils lui ont 

 permis d'énoncer des théorèmes qui sont la tra- 

 duction même de formules de notre Calcul intégral, 

 dont certaines sont déjà très compliquées'. 



§ t. 



La méthode des indivisibles. 



1 Historia cycloidis. 



- Leltera a Philalclhi. 



• Article dans le Journal des Savants, numéro de mai 1830. 



On est tenté de s'imaginer aujourd'hui que 

 notre Analyse infinitésimale, telle que nous la con-i 

 naissons et l'appliquons, dans ses deux grandes 

 divisions du Calcul différentiel etdu Calcul intégral, 

 permet seule de résoudre les problèmes qui sont! 

 de son ressort. La méthode d'exhaustion, celles des 

 indivisibles, celle des indéterminées de Descartes, 

 celle des limites et des fluxions de Newton, sont 

 peu connues malgré les services que chacune a 

 rendus dans son temps. 



La méthode d'exhaustion est la plus ancienne. 

 Pour arriver à la connaissance d'une courbe, par 

 exemple, les géomètres de l'Antiquité imaginaient 

 un polygone inscrit à la courbe, et un polygone 

 circonscrit; ils les étudiaient en supposant que le 

 nombre de leurs côtés augmente, tandis que les '' 

 longueurs de ces côtés diminuent; ils avaient ainsi 

 une idée de plus en plus approchée de la courbe, 

 toujours comprise entre les deux polygones, et 

 arrivaient, en raisonnant par continuité, à décou- 

 vrir exactement ses propriétés. Pour les surfaces 

 et les volumes, ils usaient de méthodes analogues. 



Au début du xvn c siècle apparaît la méthode des 

 indivisibles. Le Milanais Cavalieri 2 l'applique dès i 

 Ki-2'J et l'expose en 1635 dans sa « Gcoinetria nnli- 

 visibiiibus continuorum nova quœdam ratione pro- k 

 mota ". A la même époque, en France, liobeival 

 est en possession d'une méthode analogue, mais, 

 suivant son habitude, ne publie rien, car il aimait 

 faire mystère de ses découvertes et délestail d'écrire, 

 ayant quelque peine à s'exprimer nettement. Il se 

 contente de réclamer, par une lettre de ltl'i i à forri- 

 celli : ,desdroits de priorité discutailles. Le .. Traita 

 des Indivisibles », publie seulement après sa mort ', 



' Jusqu'à îles formules contenant «tes intégrales double- et 

 triples. Ce fait a été très bien mis en évidence par Marieà 

 A ceux que les traités géométriques de Pascal rebuteraient a. 

 première lecture par suite de l'archaïsme de la rorme, on ne 

 saurait trop conseiller de les étudier d'abord dans Marie 

 Histoire des Sciences mathématiques et physiques, t. IV, 



p. 181 et suivante- . Marie, quelque inégal et inc plet sur 



certains points qu'on puisse le juger, a un mérite rare : il J 

 complètement lu les principales des œuvres dont il parle 

 de préférence les œuvres mathématiques . Dans son histoire] 

 jl donne île chacune une analyse qui la suit pas à pas. Quand 

 l'œuvre n'est pas écrite en français, ou est cl un style vieilli, 

 celte analyse, véritable traduction résumée et commentée, 

 facilite singulièrement l'étude de l'original. 



; 1598-1641. 



» Anciens Mémoires de l'Académie, t. VI. 



1 Premier volume de Mémoires publié par l'Académie des 

 Sciences. 



