LIEUTENANT PERRIER — PASCAL 



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montre bien qu'il avait puisé sa méthode dans son 

 propre fonds; mais, en voulant, comme il dit, s'en 

 réjouir « juveniliter » et la garder « in petto •», il 

 avail laissé à Cavalieri l'honneur de la découverte. 



La méthode des indivisibles ne correspond qu'à 

 n »tre calcul intégral limité à l'intégration des fonc- 

 tions différentielles. On comprend aisément pour- 

 quoi ce dernier est né. somme toute, avant le calcul 

 différentiel : rectifier des lignes courbes, quarrer 

 des surfaces planes ou courbes, cuber des volumes, 

 sont des problèmes qui se sont forcément posés de 

 tout temps, tandis que ceux du calcul différentiel 

 tiennent moins naturellement à l'esprit. 



Le calcul intégral n'est au fond que l'inverse du 

 calcul différentiel, puisqu'il revient toujours à 

 chercher si les fonctions placées sous le signe 

 somme ne sont pas des différentielles de fonctions 

 connues. Au contraire, dans la méthode des indi- 

 visibles, les sommations se faisaient directement. 



Dans sa o Geometria » de 1<>.'}">, Cavalieri imagine 

 les lignes, les surfaces et les volumes comme 

 Recomposés en un nombre infini d'éléments qu'il 

 appelle des indivisibles, c'est-à-dire qu'il considère 

 comme représentant le dernier terme de la décom- 

 position, l'uni- les lignes, ces indivisibles soûl des 

 points placés côte à côte; pour les surfaces, ce 

 sont des droites parallèles juxtaposées; pour les 

 volumes, des plans parallèles empilés. Unsi pré- 

 sentées, les hypothèses sur lesquelles repose la 

 méthode paraissent évidemment absurdes, el t'.ava- 

 ;-lieri est forcé d'avouer qu'il ne peut donner de 



déi istration rigoureuse de celle-ci. Attaqué par 



Guldin', il la compléta et la justifia en 1640 dans 

 ses « Exercitationes g'eometricse sex ".faisant voir 

 qu'elle est au fond une transformation heureuse 

 de la méthode d'exhauslion. Le seul défaut de 

 Cavalieri était de s'exprimer « d'une manière un 

 peu dure pour des oreilles accoutumées à l'expres- 

 sion géométrique 5 ». Ses indivisibles sont ce que 

 nous appelons aujourd'hui des lignes, des surfaces 

 ou des volumes élémentaires qui décroissent indé- 

 finiment à mesure que leur nombre augmente 

 Indéfiniment. (C'est ainsi que Roberval l'entend 

 Sans sa lettre de 1644 à Torricelli.) Il ne faut voir 

 dans les hypothèses de Cavalieri qu'un moyen com- 

 mode d'abréger le discours. 11 faisait, en somme, 

 abstraction d'une dimension des indivisibles, qu'il 

 sulïii de rétablir dans ses raisonnements pour leur 

 rendre la rigueur qui parait leur manquer. 



Les grands géomètres de son temps ne s'y sont 

 pas trompés et ont pratiqué la méthode en se faisant 

 une idée très exacte de son esprit. Mais, comme 

 Cavalieri, ils sous-entendaient constamment dans 



' 1577-1643. 



1 Montucla : Histoire des Mathématiques,, t. II, Agasse, 

 Paris, an VI. p. '28. 



REVIE GÉNÉRALE DES SCIENCES, 1901. 



leurs démonstrations les différentielles des varia- 

 bles, ce que nous appellerions aujourd'hui dx, dy, 



dz, ds et les supposaient implicitement égales 



entre elles. Pascal est formel à cet égard : » Tout 

 ce qui est démontré par les véritables règles des in- 

 divisibles, se démontrera aussi à la rigueur et à la 

 manière des Anciens: et ainsi l'une de ces mé- 

 thodes ne diffère de l'autre qu'en la manière de 

 parler : ce qui ne peut blesser les personnes raison- 

 nables quand on les a une fois averties de ce qu'on 

 entend parla. Et c'est pourquoi je ne ferai aucune 

 difficulté, dans la suite, d'user de ce langage des 

 indivisibles : la somme des lignes ou la somm< 

 plans;... je ne ferai aucune difficulté d'user de cette 

 expression : la somme des ordonnées^... puisqu'on 

 n'entend autre chose par là sinon la somme d'un 

 nombre indéfini de rectangles faits de chaque 

 ordonnée avec chacune des petites portions égales 

 du diamètre, dont la somme est certainement un 

 plan... De sorte que, quand on parle de la somme 

 d'une multitude indéfinie de lignes, on a toujours 

 égard à une certaine droite, par les portions égales 

 et indéfinies de laquelle elles soient multipliées 

 Pascal el Roberval négligentsans cesse les quantités 

 infiniment petites vis-à-vis des quantités finies : 

 « Une grandeur continue d'un certain ordre n'aug- 

 mentepas », dit Pascal, ■ si on lui ajoute des quanti- 

 tés d'un ordre inférieur en tel nombre qu'on voudra»; 

 et il ajoute, en s'ex primant comme Cavalieri: « Ainsi, 

 par exemple, une. somme de lignes n'augmente pas 

 plus par l'addition d'une somme de points, qu'une 

 somme de surfaces n'augmente par l'addition d'une 

 somme de lignes, ou une somme de solides par 

 [''addition d'une somme de surfaces-'. » Roberval 

 emploie sans ces-,,' les expressions - infini el 

 « infiniment petit », absolument dans le sens que 

 nous leur attribuons aujourd'hui. La notion de 

 l'infini mathématique était donc familière aux 

 géomètres de l'époque '. 



.Ne pouvant faire que des démonstrations géomé- 

 triques, ils ont déployé une babileté véritablement 

 étonnante dans l'application de la méthode des 



1 Lettre de Dcltom ille à Carcat i. p 

 - l'eotestatum aumericarum summa, p. 311. 

 3 Au sujet de l'idée de l'infini dans Pascal, voir Pensées, 

 (édition Ilavet, Delagrave, 1883, article 1,1; arlic'e XXV, :; , 

 ainsi que [>r l'esprit géométrique (même édition, p. 536 el 

 suivantes). Voir aussi, la lettre du chevalier deMéré que nous 

 avons déjà citée. Dans tout le passage de l'opuscule D- l'es- 

 prit géométrique indiqué ci dessus, Pascal prend le mi t 

 « indivisible ■ au sens bien précis qu'il avait depuis Cavalieri 

 pour les géomètres ,1e son temps. Deux indivisibles ne sont 

 donc ni « deux portions de pur espace », ni » plutôt deux 

 atomes réels, deux petils corps », et Pascal n'entend point, 

 p. 541, prouver que le « point géométrique, et en général les 

 figures géométriques pures sont des idées sans réalité » 

 i Ilavet), mais seulement faire voir l'absurdité qu'il y 

 aurait à prendre les hypothèses de Cavalieri au pied de la 

 lettre. 



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