BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



< arvallo(E.), Examinateur à TÉcole Polytechnique. — 

 Théorie du mouvement du Monoeycle et de la 

 Bicyclette. — 1 vol. )'//-8 ,J . {Extrait du Journal - de 

 l'Ecole Polytechnique, 2 e série. 5 e et 6° cahiers.) 

 Gauthier-Villars, éditeur. Paris, 1901. 



M. Carvallo vienl de consacrer un important Mémoire 

 à l'étude du mouvement des cycles. Voici, d'après une 

 communication présentée par l'auteur lui-même à la 

 Société Mathématique de France, les principaux points 

 qu'il a abordés dans son travail : 



Le cerceau qui roule est un système à trois degrés 

 de liberté. Les paramètres naturels sont l'angle de 

 chute, l'angle de marche sur le sol et l'angle de con- 

 version autour de la verticale. Les trois équations du 

 mouvement sont obtenues par le théorème des travaux 

 virtuels. Ce sont les équations de chute, de marche et 

 de conversion. Le théorème des forces vives sert de 

 vérification. Les mêmes équations sont, d'ailleurs, obte- 

 nues dans la deuxième partie au moyen des équations 

 de Lagrange, affectées d'une modification nécessaire et 

 qui est expliquée plus loin. 



Un développement en série permet de déduire des 

 trois équations du mouvement deux relations très im- 

 portantes: une équation d'équilibre et une condition de 

 stabilité de l'équilibre. La condition d'équilibre est une 

 relation entre l'angle de chute, la vitesse de marche et 

 la vitesse de conversion. Elle est établie aussi par un 

 raisonnement direct. Par un raisonnement analogue, 

 on calcule la tendance au dérapage. Une discussion 

 complète des régimes d'équilibre, avec la slabilité et la 

 tendance au dérapage, est résumée dans un graphique. 

 Pour terminer, l'auteur calcule l'action de la baguette 

 sur la conversion du cerceau el explique les effets si 

 différents qu'on obtient en appliquant la baguette à 

 l'arrière ou à l'avant du cerceau. 



Le monocycle donne lieu à des développements ana- 

 logues. Signalons seulement l'équalion de marche, les 

 réflexions qu'elle provoque sur le pédalier de la multi- 

 plication, puis une digression sur certains paradoxes 

 de Mécanique : une expérience sur la bicyclette, et le 

 paradoxe du navire. L'étude de la stabilité provoque 

 aussi des digressions sur la stabilité des appareils 

 rotatifs et sur l'Electrodynamique. 



Dans la deuxième partie, consacrer à la bicyclette, 

 l'auteur montre qu'on est encore en présence d'un sys- 

 tème à trois degrés de liberté. Les trois paramètres 

 sont l'angle de chute, l'angle de guidon et l'angle de 

 marche de la roue motrice. La complication du pro- 

 blème, quand on tient compte des petits détails du mé- 

 canisme, est telle que la seule géométrie de la bicy- 

 clette exige un chapitre spécial. Il faut une application 

 attentive pour y dislinguer des éléments qui paraissent 

 identiques au premier abord. Ainsi, pour la roue 

 motrice, l'angle de roulemenl sur les tourillons peu! 

 différei del'anglede marche sur le sol, à cause de l'abais- 

 sement du cadre produit par la rotation du guidon. 



< in él udîe ensuite la cinématique de la bicyclette el l'équi- 

 libre au repos. Cet équilibre esi essentiellement instable. 



pour les équations dynamiques de la bicyclette, le 

 théorème des travaux virtuels, appliqué sans artifice, 

 conduit a des calculs si compliqués que l'auteur a dû 

 renoucer à les exposer dans son Mémoire. Il s'ësl alors 

 adressé à la simplification de Lagrange, qui consiste à 

 calculer le travail >\<> forces d'inertie au moyen de la 

 force vive. Son but était de vérifier ses premiers calculs 

 par des calculs moins compliqués et d'arriver a une 

 exposition plus abordable. Il s'est alors aperçu d'une 



particularité importante des équations de Lagrange; 

 déjà signalée antérieurement par M. Iladamard, mais 

 encore peu connue. Voici en quoi elle consiste : 



Lagrange prend pour paramètres des coordonnées 

 proprement dites, par exemple les trois angles d'Kuler 

 dans la rotation d'un solide autour d'un point lixe. 

 Connaissant les trois angles, on peut placer le solide. 

 Les coordonnées d'un quelconque de ses points mata 

 riels sont des fonctions de ces trois paramètres et on 

 peut appliquer à ces fonctions le théorème connu sur 

 le changement de l'ordre des dérivations. Les para- 

 mètres naturels du cerceau el de la bicyclette ne satis- 

 font pas à la même condition : donnez l'angle île chuta 

 l'angle de marche et l'angle du guidon, vous ne pourrez 

 pas dire si la bicyclette, partie de Paris dans une direc- 

 tion donnée, est arrivée à Versailles on à fontaine] 

 bleau. Les coordonnées d'un point de la bicyclette ne 

 peuvent pas s'exprimer en fonction seulement des trois 

 paramètres; il faudrait, en outre, connaître la loi des 

 variations simultanées des trois paramètres. Il en ré- 

 sulte qu'une des transformations de Lagrange devient 

 impossible. Les équations auxquelles il faut s'arrêter, 

 moins simples qui- les équalionsdélinilives de Lagrange] 

 apportent encore une simplification considérable. 



Pour la stabilité, la bicyclette exige aussi une mé- 

 thode plus puissante que le cerceau." M. Carvallo a été 

 conduit à définir les régimes d'équilibre et à donner 

 une méthode générale pour étudier la stabilité de ces 

 régimes. Ces deux méthodes, d'abord upp'iquées au 

 cerceau et au monoeycle, ont permis d'aborder ensuite 

 l'étude de la bicyclette : équilibre avec les mains, sansi 

 les mains, et stabilité de ces équilibres. 



Les résultats sont ceux-ci : Les lernies principaux dJ 

 l'équation d'équilibre sont la pesar.leur et la force 

 centrifuge. Celle-ci dépend de l'angle du guidon. Aux 

 vitesses habituelles, elle a une prépondérance considé-l 

 rable, d'autant plus grande que la marche est plus 

 rapide. Aussi le gujd'>n doit-il être manœuvré avec prél 

 caution et par mouvements insensibles. Mais le corps 

 peut être déplacé sans crainte de chute brusque. 



Pour le làche-inains, l'auteur trouve que le seul ré- 

 gime d'équilibre est la marche rectiligne si le corps 

 reste droit; une conversion ne pput être obtenue par le 

 cavalier qu'en portant el maintenant le corps incliné 

 du coté où il veut tourner. 



(Juanl à la stabilité, elle n'existe pas si le guidon est 

 fixé; mais l'instabilité est faible, assez pour que le ca- 

 valier ait tout le temps de porter le guidon insensible- 

 ment à droite et à gauche, de façon à retrouver, par 

 une sorti' d'oscillation voulue autour de la position 

 d'équilibre, la stabilité qui n'existe pas en théorie. 



Dans le lâche-mains, les formules donnent deux 

 limites de la vitesse, environ 10 kilomètres el 10 kilo- 

 mètres à l'heure. Entre ces deux limites, |, régi 



serait stable; en dehors, il sérail instable. Toutefois 

 l'instabilité du côté de la limite supérieure esl très 

 faible ; maxima vers lis kilomètres à l'heure, elle tenq 

 mi- zéro a mesure que la wtesse augmente. 



M. Carvallo termine en indiquant une méthode qui 

 permet d'étudier l'influence du frottement sur la stabi- 

 lité; il indique qu'il y aurait lieu de l'appliquer a la 

 bicyclette et qu'elle augmenterait la stabilité. L'auteur 

 poursuil actuellement cette recherche; elle fait prévoir 

 que le frottement rend stables les régimes qui seraient 

 instables au delà de la limite supérieure (lli kilom. 

 Bien entendu, les évaluations numériques dépende™ 

 de la bicyclette considérée, notamment de la place da 

 l'axe du guidon par rapport au centre de la roue > S i iii- 

 liice et à son point de contact avec le sol. fi. A. 



