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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Ilussell (Berlrand-A'.-Wi.). — Essai sur les Fonde- 

 ments delaGéoniéirie.; Traduit par M. Albert Cade- 

 nat et annoté par l auteur et pur M. Louis Couturai . 

 — 1 vol. 277-8° de : l~'t pages, avec figures. {Prix : 9 l'r. 

 Gauthier- Villars, éditeur. Paris, 1901. 



Ayant à rendre compte, pour les lecteurs de celte 

 Revue, de cet important ouvrage, je me bornerai à 

 dire succinctement ce qu'on y trouve, sans m'engager 

 bien avant dans les polémiques que le livre a soule- 

 vées dès son apparition. 



Sans parler déjà de l'excellente exécution matérielle, 

 habituelle à tout ce qui sort de l'imprimerie Gaulhier- 

 Villars, on doit signaler que la publication est très soi- 

 gnée. En eltét, le corps de l'ouvrage est accompagné : 

 1° de deux préfaces par l'auteur, l'une de l'édition fran- 

 çaise, l'autre de l'édition anglaise; i u d'un lexique phi- 

 losophique par M. Couturat; 3° de notes mathéma- 

 tiques par l'auteur; 4° d'une table détaillée et systé- 

 matique des matières, véritable répertoire. Le tout 

 constitue un ensemble de 274 pages. 



Quoique fortement teinté de Mathématiques, le livre 

 est un livre de Philosophie. 11 est très analogue, par 

 suite, aux études récentes de M. Mannequin sur l'hypo- 

 thèse des atomes ou de M. Couturat sur l'infini. Les 

 mathématiciens purs y trouveront, à côté des considé- 

 rations qui leur sont familières, les aperçus dont, à 

 tort ou à raison, ils s'abstiennent habituellement. 



Abordant le vaste domaine de recherches qu'on 

 nomme Géométrie non euclidienne ou Métagéométrie 

 (connue on dit Métaphysique par rapport à la Physique), 

 M. Russell rappelle d'abord, avec critique appropriée, 

 ce qui a déjà été publié d'important. Puis il développe 

 ce qu'il pense lui-même sur la matière. Il y a donc 

 une partie historique et critique et une partie dogma- 

 tique. 



Dans le développement historique de la Métagéomé- 

 trie, M. Russell distingue Irois périodes : 



I. (Les précurseurs : l'italien Saccheri de 1733 et 

 l'allemand Lamberfde 1786; puis les fondateurs : Gauss, 

 Lobatchevski, Jean Bolyai). Le but poursuivi est de 

 montrer qu'on peut édifier, en se privant dupostulatum 

 d'Euclide, une géométrie logiquement cohérente. 



II. .(Riemann, llelmholtz, Lie,...). Le principal objet 

 de recherches est la discussion du principe de libre 

 mobilité (« le déplacement des figures est possible sans 

 déformation >>); la méthode principale est l'emploi des 

 coordonnées; l'espace est envisagé comme une multi- 

 plicité, c'est-à-dire comme lieu d'un point défini par des 

 coordonnées — nombres. La notion principale intro- 

 duite est la courbure des espaces. 



III. (Surtout MM. Klein et Poincaré) C'est l'époque 

 (actuelle) de la Géométrie projective. On ramène tout à 

 des intersections de droites et au rapport anharmoni- 

 que, ce dernier défini par la méthode de Staudt, c'est-à- 

 dire sans aucune intervention de la dislance. 



Chemin faisant sont examinées les opinions de quel- 

 ques savants ou philosophes. Signalons l'excellente cri- 

 tique des théories de Lotze, qui sont encore aujour- 

 d'hui l'arsenal où se munissent d'arguments les derniers 

 euclidiens intransigeants. 



Voici maintenant ce que M. Russell pense lui-même 

 sur tous ces problèmes : 



I. La (iéométrie projective est entièrement a priori 

 et repose sur des axiomes dont voici les essentiels : 

 1" <>n peut discerner dans l'espace des parties élémen- 

 taires ou « points », qui, tout en étant qualitativement 



tous pareils, sont cependant discernables comme exté- 

 rieurs les uns aux autres. 2" L'espace a un nombre fini 

 et entier de dimensions. 



IL La Géométrie métrique s'obtient en introduisant 

 dans la Géométrie projective l'idée de mouvement et 

 trois axiomes nouveaux : 1° Le principe de la libre 

 mobilité; i'' celui (empirique) des /roi* dimensions de 

 noire espace; 3° la notion de la dislance de deux points. 



III. Le chapitre iv est purement métaphysique. On y 

 examine la question suivante : Quel rapport une notion 

 purement logique de l'espace (telle que celle qui pré- 

 cède peut-elle avoir avec notre espace ambiant, objet 

 de la perception? Celte question n'est qu'un cas paiti- 

 ticulier du problème, probablement à jamais insoluble, 

 de l'intelligibilité de l'Univers. Je n'insiste pas sur ce 

 chapitre iv. 



Le livre est intéressant et suggestif, parce que M. Rus- 

 sell remue beaucoup d'idées et a beaucoup réfléchi sur 

 les matières qu'il traite. Mais enfin, comme personne au 

 monde ne peut avoir aujourd'hui la prétention de 

 résoudre complètement les problèmes pnsés, il n'y a 

 rien d'étonnant à ce que de nombreuses réserves soient 

 à faire aux théories de l'auteur. 



Je ne veux pas m'engager bien avant dans la polémi- 

 que, mais qu'on me permette de signaler deux de ces 

 réserves. 



D'abord, est-il bien sûr que la démonstration du para- 

 graphe 37 (Deux points, et non quatre, ont une relation 

 mutuelle, leur distance, indépendante des autres points) 

 soit péremptoire? La distance ne peut-elle pas, sans 

 faire l'objet d'un axiome distinct, être réductible à la 

 Géométrie projective? M. Russell dit que, sans la dis- 

 tance de deux points, on ne pourrait plus distinguer les 

 différents points d'une droite. Mais on les distingue déjà 

 par l'axiome primordial, ladiscernabilité des points exté- 

 rieurs les uns aux autres. L'axiome de la distance serait 

 surabondant, comme réductible à d'autres axiomes. 



En second lieu, on ne trouve (du moins je n'ai pas 

 trouvé) aucune allusion à un fait algébrique, découvert 

 il y a quelques années, lequel est passablement décon- 

 certant. Voici ce que c'est : 



En Géométrie analytique, il est impossible d'établir 

 une différence de nature entre figures à nombre diffé- 

 rent de dimensions. Prenons l'exemple le plus simple 

 de cette particularité. Soit, dans un plan, un point 771, 



:X((), 



y=y [t 



où X et Y sont des fondions réelles, continues, uni for- 

 mes -de la variable réelle t. Faisons varier/, c'est-à-dire 

 attribuons-lui une suite infinie de valeurs. Si X et Y 

 sont les fonctions usuelles de l'analyse, le lieu du point 

 m est une courbe C, figure à une dimension. Mais on 

 peut choisir X et Y de façon que les points de C rem- 

 plissent toute une région du plan, par exemple tout 

 l'intérieur d'un rectangle. On obtient ainsi la même 

 figure à deux dimensions que si l'on avait fait varier 

 séparément x et y. Cela est d'accord avec la théorie des 

 ensembles de Cantor, où l'on apprend qu'il n'est ni plus 

 ni moins général d'envisager : 



soit une suite infinie de nombres, 



soit plusieurs pareilles suites. 



Il semblerait donc qu'on peut reproduire tous les 

 points, à n coordonnées indépendantes, d'un espace à 

 77 dimensions, en faisant varier un paramètre unique. 

 Notre univers serait intrinsèquement à une dimension. 

 C'est précisément ce que l'auteur (paragraphes 135 et 

 suivants) soutient impossible. 



Nous n'attachons pas d'importance dogmatique abso- 



