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Legendre's Theorie des fonctions eUiptiques^ Illl^me Supplement, 

 einen der hierhergehörigen Fälle vollständig erledigt, Indem er 

 zeigte, dafs eine elliptische Function erster Gattung für einen 

 complexen Modiiius k durch die Summe zweier Abel'schen er- 

 ster Classe ausgedrückt werden kann, doch ist der hier vorlie- 

 gende Fall, in dem ß und h mit Q)i und §/ zu verlauschen 

 sind, noch unerledigt geblieben. Die Gröfsen /«, n, /?, q kön- 

 nen offenbar alle reellen Werthe darstellen, und dennoch, wie 

 aus einer einfachen geometrischen Betrachtung erhellt, in die 

 trigonometrische Form ^ = Kp^ — 1 cosö, q ^= g %\n^^ etc. ge- 

 bracht werden. Wir haben also den allgemeinsten Fall, in dem 

 die Gleichung mit reellen Coefficienten 



a-|-/3x-f-ya:'^ -J- S^' -f- £x* = 



vier imaginäre Wurzeln hat. Zu Grenzen nehmen wir dabei 

 — 1 und -f-1, könnten auch —g und g ohne Schwierigkeit wäh- 

 len, und mit geringen Modificatlonen g und ä betrachten. 



Der Integralausdruck in (3) geht durch die Substitution 

 X ^ iy in 



JV\{f-mr^nn 



und durch die bekannten Transformationsformeln, wie sie z. B. 

 Luchterhandt im l7ten, Richelot im Sislen Bande des Cr. J. 

 glebt in 



^Jvi'^. 



d X 



L-^Kl-Ä^a;« 



über, wenn 



M^={rn-py^{n-^qy 



also M^ und k^ reelle und positive Gröfsen bezeichnen, ferner 



f,a - <f\(i-^Y -*- n'\ -n{(i-py-^q^} 

 q{(i-mY ^n'\-i-n [{i-py^^^^ 



und a die zu ß conjugirte imaginäre Zahl ist. 



