204 Sitzung der physikalisch mathematischen Klasse 



zahl Ist. An diesen Aufsatz unrl die darin enthaltenen Resul- 

 tate anknüpfend, will ich hier einige Bemerkungen mittheilen, 

 zu denen ich durch weitere Beschäftigung mit dem dort be- 

 handelten Gegenstande geführt worden bin. Ich werde hierbei 

 der Kürze halber auch die an jenem Orte gewählten Bezeich- 

 nungen beibehalten, ohne dieselben erst nochmals zu definiren. 

 Wenn man die In dem erwähnten Aufsatze eingeführten 

 ganz beliebigen Gröfsen A, B, C,... reell annimmt, so crgiebt 

 die entwickelte Form der Wurzeln ein sehr bemerkenswerthes, 

 die Realität derselben betreffendes Resultat, welches sich für 

 den speziellen Fall, wo es sich nur um ganzzahlige Gleichungen 

 handelt, einfach so aussprechen läfst: 



„W^enn eine Irreductible Gleichung mit ganzzahligen 

 Coefficienten auflösbar und der Grad derselben eine un- 

 grade Primzahl ist, so sind entweder alle Ihre Wurzeln 

 oder nur eine reell." 

 Für den allgemeinen Fall aber, wo die Coefficienten der 

 Gleichung Irgend welche reelle Gröfsen sind, mufs man, um 

 die Genauigkeit zu bewahren , das bezügliche Resultat In der 

 folgenden etwas umständlicheren Weise ausdrücken : 



,,W^enn eine Gleichung — deren Grad eine ungrade 



Primzahl [j. ist, deren Coefficienten rationale Functionen 



Irgend welcher reeller Gröfsen A, B, C, . . ., also selbst 



reell sind und welche endlich nicht in Factoren niederen 



Grades zerlegt werden kann, so dafs deren Coi^fficienten 



wiederum rationale Functionen von A, B, C, . . . wären — 



durch eine expllcite algebraische Function jener Gröfsen 



A, B, C^ . . . erfüllt wird, so sind entweder alle Ihre 



Wurzeln, oder nur eine derselben reell." 



Um Mifsverständnissen vorzubeugen, füge Ich hinzu, dafs 



Ich unter ,, rationalen Functionen von A, B, C, . . ." hier wie 



In meinem früheren Aufsatze immer nur solche verstehe, in 



denen die Coefficienten der verschiedenen Potenzen jener 



Gröfsen rationale oder, wenn man will, ganze Zahlen 



sind. Ich bemerke ferner, dafs die angegebene Eigenschaft der 



Irreductibeln auflösbaren Gleichungen \j.\.en Grades nicht blofs 



aus der allgemeinen Form ihrer Wurzeln hervorgeht, sondern 



auch aus dem schon von Galois herrührenden Satze „dafs jede 



