vom i4. y^pril 1856. 205 



Wursel einer solchen Gleichung «Ich als rationale Function 

 von Irgend zwei andern darstellen läfst". Wenn nämlich diese 

 Function nur reelle Coefficienten enthält, so folgt hieraus un- 

 mittelbar, dafs alle Wurzeln reell sein müssen, sobald nur 

 zwei derselben reell sind. Doch sind in den leider unvoll- 

 endet gebliebenen Abhandlungen des genannten genialen Ma- 

 thematikers die als rational betrachteten Gröfsen und die be- 

 kannten Irrationalitäten (wie „Wurzeln der Einheit") noch 

 nicht streng genug von einander gesondert und es fehlt des- 

 halb auch jenem Satze bei Galois die genauere Fassung, 

 welche nothwendig ist, um die für die obige Schlufsfolgerung 

 erforderlichen Bedingungen daraus zu ersehen. Die neuen und 

 einfacheren Methoden aber, welche ich zur Herleitung der 

 Eigenschaften auflösbarer Gleichungen anwende und nächstens 

 vollständig veröffentlichen werde, ergeben das Galois'sche 

 Resultat in der bestimmten Form, dafs die rationale Function, 

 vermittelst deren eine Wurzel durch zwei andere ausgedrückt 

 wird, als Coefficienten der verschiedenen Potenzen der beiden 

 Wurzeln nur rationale Functionen der Gröfsen A, B, C, . . . 

 mit ganzzahligen Coefficienten, also — wenn yt, B, C, ... 

 reell sind — nur reelle Gröfsen enthält. 



Wenn man von jetzt ab nur Gleichungen betrachtet, de- 

 ren Coäfficienten rationale Functionen irgend welcher bekannter 

 reeller Gröfsen A, B, C, . . . sind, und wenn man diejenigen 

 irreductibel nennt, welche nicht In Factoren niederen Grades 

 mit eben solchen Coefficienten zerfällt werden können, wenn 

 man endlich unter auflösbaren Gleichungen solche versteht, 

 deren Wurzeln sich als expllcite algebraische Functionen von 

 A, B, C, . , . darstellen lassen — so kann man nach dem oben 

 Gesagten die irreductibeln auflösbaren Gleichungen //ten Gra- 

 des in Bezug auf die Realität Ihrer Wurzeln in zwei Classen 

 einthellen, von welchen ich diejenige Immer als die erste be- 

 zeichnen werde, welche die Gleichungen mit einer einzigen 

 reellen Wurzel enthält, und diejenige als die zweite, welche 

 die Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln umfafst. Von den 

 charakteristischen Eigenschaften dieser beiden Classen hebe ich 

 zuvörderst die hervor, dafs, wenn \j. die Form 4 « -f- 3 hat, 

 die Determinante der Gleichung, d. h. das Quadrat des Pro- 



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