206 Sitzung der physikalisch-tnathemalischen Klasse 



dukts der -^ . ix (fx — l) Wurzeldifferenzen für die erste Classe 

 negativ, für die zweite aber positiv ist. Es geht diefs einfach 

 daraus hervor, dafs die Determinante einer Gleichung mit reel- 

 len Coefficlenten überhaupt positiv oder negativ ist, je nach- 

 dem die Anzahl der Paare von Imaginären Wurzeln grade oder 

 ungrade Ist. Hieraus folgt auch, dafs, wenn (a, die Form 4 n -f- 1 

 hat, nur solche irreductible Gleichungen ^-tten Grades auf- 

 lösbar sein können, deren Determinante positiv ist. 



Die beiden Classen irreductibler auflösbarer Gleichungen, 

 deren Grad irgend eine ungrade Primzahl /-t Ist, unterscheiden 

 sich ferner dadurch, dafs die Wurzeln der Hilfsgleichung 

 Qa, — l)sten Grades, welche Ich in der Formel HI meines mehr- 

 erwähnten Aufsatzes mit r,, rg, ... bezeichnet habe, für die 

 erste Classe sämmtlich reell, für die zweite sämmtllch imaginär 

 sind'). Es ist nach dieser Bemerkung leicht zu sehen, dafs 

 die Auflösung der zur ersten Classe gehörigen Gleichungen 

 nichts erfordert als 1) eine Abelsche Gleichung Qj. — l)sten 

 Grades aufzulösen und 2) aus einer einzigen alsdann bekannten 

 reellen Gröfse die ^^.te Wurzel zu ziehen. Für die zweite Classe da- 

 gegen hat man 1) ebenfalls eine Abelsche Gleichung (ß — l)sten 

 Grades aufzulösen, 2) einen alsdann gegebenen Kreisbogen in 

 IJi gleiche Theile zu theilen. Es Ist diefs, wie man sieht, die 

 Verallgemeinerung des sogenannten Irreductibeln Falles bei den 

 Gleichungen dritten Grades. Ferner liegt darin eine gewisse 

 Analogie mit der von Gaufs (disqu. arithm. pag. 651) ange- 

 gebenen Eigenschaft der Kreistheilungsgleichungen , welche 

 Abel In dem memoire XI des ersten Bandes der gesammelten 



') In dem oben angeführten Aufsatze ist diejenige Wurzel einer ge- 

 wissen Ab eischen Gleichung, mit Hilfe deren die auflösbare Gleichung 

 fiten Grades selbst eine Abelsche wird, ebenfalls mit r, bezeichnet, ob- 

 gleich dieselbe durchaus nicht mit einer der in der Formel III vorkom- 

 menden Gröfsen ri, r^, ... identisch ist. Man hat deshalb für jene zu 

 Unrecht mit ti bezeichnete Wurzel ein neues Zeichen ui einzuführen und 

 erhält darnach die an jener Stelle gegebenen Gleichungen in folgender 

 Form : 



Z2=f(z,,Ui), Z, =/(zi, Ui), Äi =/(zi^, «,) 



Die Gröfse Ui hängt übrigens sehr einfach von ri ab, ist aber stets imaginär 

 sobald r, reell ist und umgekehrt. 



