vom 14. April 1856. 209 



Coefficienten darstelien iäfst. Es ist nämlich klar, dafs umge- 

 kehrt nicht jede solche Function eine Gleichung ?^ten Grades 

 mit ganzzahligen Coefficienten erfüllt. Denn die symmetrischen 

 Verbindungen der ij. verschiedenen Werlhe, welche eine solche 



Function durch Veränderung des Werthes von K/ (^) annimmt, 

 werden offenbar im Allgemeinen noch die Wurzel der Einheit 

 p enthalten. Ich werde aber im Folgenden die Bedingungen 

 aufzeigen, unter denen diefs nicht der Fall Ist, d. h. Ich werde 

 einen aus Wurzeln der Einheit zusammengesetzten Ausdruck 

 aufstellen, welcher alle Wurzeln ganzzahliger Irreductibler 

 aullösbarer Gleichungen wten Grades und nur solche in sich 

 enthält. Da zu diesem Zwecke vorerst die allgemeinste Dar- 

 stellung der Wurzeln ganzzahliger Abelscher Gleichungen in 

 der Form von ganzen oder gebrochenen complexen Zahlen ge- 

 geben werden mufs, so wird hiermit zugleich die in dem frü- 

 heren Aufsatze offen gebliebene Frage erledigt, welche Eigen- 

 schaften eine rationale Function von Wurzeln der Einheit 

 haben mufs, wenn sie Wurzel einer ganzzahligen Abelschen 

 Gleichung sein soll." 



Es seien n und m irgend welche ganze Zahlen und es 

 gebe die Zerlegung der letzteren in ihre Primfactoren : 



„ao Ol a-i 

 m =2 •/?, ' P2 .... 



wo «0 entweder gleich Null oder gröfser als Eins sein soll; 

 ferner »ei So ^^^ gröfste gemeinsame Factor von 2 und «, 

 wenn «0 = 2 ist, aber der gröfste gemeinsame Factor von 

 2"" — ^ und n, wenn oq gröfser als 2 ist; ferner sei §i der 

 gröfste gemeinsame Factor von />,' • (;oi — l) und n, ebenso 



Sjj der von p2^ '(f'z — ""d "» "• s. w. ; endlich sei für 

 jedes B eine zugehörige Zahl d durch die Gleichung definirt: 

 5 •(/=«. W^enn nun § eine primitive mte Wurzel der Ein- 

 heit bedeutet, so ist 2^* die Wurzel einer Abelschen Glei- 

 chung nten Grades, sobald man die Summation auf alle die- 

 jenigen positiven Zahlen k erstreckt, welche relative Primzahlen 

 zu rn und kleiner als m sind und welche der Congruenz- 

 bedingung: 

 I. bo-do.ladk-hbt .d, .ind, k-i-b-^ .d, .indgÄ-H = 0, modn 



