210 Sitzung der physikalisch-mathewalischen Klasse 



genügen. In dieser Congruenz bedeuten b^, b,, h^, . . , ganz 

 beliebige positive Zahlen, die kleiner als n sind; ferner wer- 

 den die Zeichen ind,Ä:, m^^^' ••• wie gewöhnlich durch die 

 Congruenzen : 



ind,Ä , j Ol indjÄ — , , a^ 

 8x =Ar,raod,/w, , g-g =ä, mod, ^ 2» 



bestimmt, wo gy, g^ . . . resp. primitive Wurzeln von Pi', 

 Pi^ i . . . sind; endlich soll das Zeichen Ind k durch die Con- 

 gruenz : 



(-i)^''^^ =k, mod4 

 erklärt werden, wenn «0=2 ist; wenn aber og gröfser als 2 

 Ist, so soll erstens für diejenigen Zahlen k, welche von der 

 Form Af + l sind, das Zeichen Ind k die durch die Congruenz: 



, Ind fc ^^ . , «0 



5 = ^j raod 2 



definirte Bedeutung haben und es soll zweitens für die Zahlen 

 k von der Form 4(^ + 3 das Zeichen Ind k entweder dadurch 

 bestimmt werden, dafs IndA:=:Ind(m — k) oder dadurch dafs 



wenn ä: < — ist , Ind A- = Indl k\ und wenn A >• — ist, 



Ind ^ = Ind f — ~^) angenommen wird. Es ist hierbei zu 

 bemerken , dafs wenn oq > ^ ^^^^ ^ durch 8 theilbar und 



/c =n 3, mod 4 ist, die Zahlen m — k. k, A: sammtlich von 



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der Form Av+\ sind, für welche Zahlen das Zeichen Ind& be- 

 reits definirt ist. 



Setzt man nun S^*=tÄ7(^) und bezeichnet mit F(ccr(^)) 

 irgend eine ganze rationale Function von ccr(^), deren Coeffi- 

 cienten gewöhnliche rationale Zahlen sind, so ist auch diese 

 stets die Wurzel einer ganzzahligen Abelschen Gleichung nten 

 Grades und zwar ist diefs die allgemeinste Form der Wur- 

 zeln einer solchen Gleichung d. h. wenn man den Zeichen m, 

 §, bß, bi, b^, ..., ro(^) und den in F(cT(f)) enthaltenen Coef- 

 ficlenten alle gestatteten Werlhe und dem Zeichen Ind k für 

 den Fall, dafs m durch s theilbar ist, die beiden zugelassenen 

 Bedeutungen nach einander beilegt, so giebt der Ausdruck 

 F(ocr(fl)) die Wurzeln aller Gleichungen nten Grades, deren 



