212 Sitzung der physikalisch -mathematischen. Klasse 



n = 2 gesetzt wird und wenn man nach einander der Zahl m 

 die drei Werthe P,AP,sP und im letzteren Falle dem Zei- 

 chen Ind k in der Congruenz I. die beiden zuläfsigen Bedeu- 

 tungen beilegt, so ergeben die Zahlen k für diese vier Fälle 

 diejenigen vier Gruppen von Zahlen, weiche in der berühmten 

 Abhandlung des Hrn. DIrichlet bei der Anzahl der quadrati- 

 schen Formen vorkommen und in den vier dort unterschiedenen 

 Fällen (Crelle's Journal, Band 21. pag. 151) immer mit a 

 bezeichnet sind. 



Nach diesen Bemerkungen dürfte es auch klar sein, in 

 welcher AVelse die aus mten Wurzeln der Einheit gebildeten 

 Ausdrücke wQ) eine Verallgemeinerung der Gaufsischen Pe- 

 rioden enthalten; und es ist hierbei namentlich interessant, dafs 

 diese Verallgemeinerung durchaus verschieden ist von der- 

 jenigen, welche Hr. Kummer in seinen noch ungedruckten 

 Untersuchungen über die aus zusammengesetzten Wurzeln der 

 Einheit gebildeten complexen Zahlen gebraucht hat. 



Bevor ich nun zur Darstellung der Wurzeln aller ganz- 

 zahligen auflösbaren Gleichungen iJ-len Grades übergehe, mufs 

 ich noch die Bedingungen entwickeln, unter denen der oben 

 definirte Ausdruck ro (^) die Wurzel einer irreductibeln 

 Abelschen Gleichung nten Grades wird. Man hat hierzu er- 

 stens die Zahl m so zu wählen, dafs darin jede in derselben 

 enthaltene ungrade Primzahl höchstens zu einer um eins hö- 

 heren Potenz und die Primzahl 2 höchstens zu einer um zwei 

 höheren Potenz erhoben vorkommt als in der Zahl n. Sobald 

 nämlich diese Bedingung nicht erfüllt ist, wird w (f ) gleich 

 Null. Man hat zweitens m so zu wählen, dafs n in derjenigen 

 kleinsten Zahl t aufgeht, für welche jede Zahl h die mit m 

 keinen gemeinsamen Theller hat die Congruenz A' = 1, modm 

 erfüllt. Alsdann haben nämlich die in der Congruenz I. vor- 

 kommenden Zahlen d keinen allen gemeinsamen Factor und es 

 sind nun drittens auch die Zahlen b so zu bestimmen, dafs die 

 Produkte b^-dQ, b^.d^, b2.d2, ... nicht sämmtlich durch einen 

 und denselben Divisor von n thellbar werden. Wenn diesen 

 drei Bedingungen genügt ist, so existiren stets Zahlen ä, welche 

 relative Primzahlen zu m sind und der Congruenz: 

 II. bQ.do .Ind.Ä-f-6, .d, .ind, . A-f-Ag- <^2' iDJ2-'«-f- = l,mod/» 



