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darstellen, wo «', k zwei von einander verschiedene Zahlen 

 aus der Reihe 0, !,....«, und/j=(r— o!o)(z — «,)... .(2 — «„); so 

 dargestellt ist er gleich der Summe aller nicht- 



cyclischen Produkte, die aus je n jener 



Elemente (ik) gebildet werden können. 



Zum Beweise des Satzes bezeichne man die Summe dieser 

 nicht-cyc lisch en Produkte mit 



.4(0,1,2, ....rz). 



Dafs dieselbe die unter 1. und 2. aufgeführten Eigenschaf- 

 ten besitzt, i>t einleuchtend. 



Um an der Summe A die Eigenschaft 3. nachzuweisen, ist 

 zu zeigen, dafs wenn man den Index ausschliefst, also n Indi- 



ces und Elemente übrig behält, aus diesen ein nicht- 



cyclisches Produkt von n Elementen zu bilden unmöglich Ist. 

 Diese Unmöglichkeit wird für n IndIces 1,2....« bewiesen, In- 

 dem dieselbe, wenn m<in ist, für m Indices und Produkte aus 

 m Elementen vorausgesetzt wird. 



Angenommen, für n IndIces gebe es ein nicht- cycllsches 

 Produkt von n Elementen und dasselbe enthalte den Faktor (12), 

 so mufs es jeden der Indices 1,2 noch einmal enthalten, denn 

 käme der Index 2 nicht noch einmal vor, so wäre das übrig 

 bleibende Produkt ein nicht cyclisches n— l'" Ordnung der n — 1 

 Indices 1, 3, 4 .... w g^gd die Voraussetzung. In dem betrach- 

 teten Gllede kommt also der Index 2 noch einmal vor, und zwar 

 nicht in der Comblnatlon (21) (denn sonst wäre der Cyclus 1 2 

 geschlossen), also In einer neuen Comblnallon, etwa durch das 

 Element {ii). Aus denselben Gründen kommt jetzt der Index 3 

 noch einmal vor und zwar nicht In der Combination (32) oder 

 (31), (denn sonst wäre der Cyclus 2 3 oder der Cyclus 123 ge- 

 schlossen), also in einer neuen Combination, etwa durch das 

 Element (34). Indem man auf dieselbe Weise fortfährt, erhält 

 man ein Produkt von n — 1 Faktoren, welches abgesehen von 

 der Ordnung der Indices die Form 



