vom 12. Mai 1859, 387 



(12)(23)....(^-In) 



hat, und wie man jetzt auch den n'^" hinzuzufügenden Faktor 

 wählen möge, so wird durch denselben immer ein Cyclus ge- 

 schlossen. 



Für n=2, wo es nur (fes eine Element (12) giebt, Ist die 

 Unmögllclikeit eines nicht- cyclischen Prodcikls zweier Elemente 

 augenscheinlich, folglich gilt dieselbe nach obigem Beweise all- 

 gemein, d. h. wie man auch aus den Elementen 



(12), (13) . (l/j), (23) etc. ein Produkt von n Elementen 



bilden möge, so ist dasselbe immer ein cycllsches. 

 Hiermit ist die Eigenschaft 3. an der Summe ^4 nachgewiesen. 



Es bleibt jetzt noch zu zeigen, dafs die Summe A auch die 

 Eigenschaft 4. besitzt. Der In (01) mulllpllclrte Theil von 



^(0, !,....«) 

 sei 



(01)^(0, l,....n), 



wo kein Glied in B das Element (oi) noch einmal enthalten 

 darf, weil sonst der Cyclus ni geschlossen wäre. 



Jedes Glied von ß wird eine Anzahl von Elementen (O») 

 und eine Anzahl von Elementen (ik) enthalten. Dafs beide An- 

 zahlen gjeichzeitig verschwinden, ist nach dem vorhin Bewiese- 

 nen unmöglich. Zwei Elemente (oi) und (l/) können nicht in 

 demselben Giiede von B vereinigt sein, weil sonst der Cyclus 

 Oll geschlossen wäre. IMan betrachte , irgend ein Produkt von 

 n Elementen, unter welchen (Ol) und (0/) aber nicht (\i) sei. 

 An die Stelle von (0/) werde (li) gesetzt, und das neue Produkt 

 helfse dem ursprünglichen zugeordnet, so leuchtet ein, dals zwei 

 zugeordnete Produkte zugleich cyclisch und zugleich nicht- cy- 

 clisch sind. Hieraus folgt, dafs der Ausdruck B die Elemente 

 (oj), (ii) nur in der Verbindung (0/) -+- (1/) enthält, wo i eine der 

 Zahlen 2, 3, .... n bedeutet. Der von dem Index unabhängige 

 Theil des Ausdrucks B Ist aber offenbar nichts Anderes als 



^(1,2,....«), 



folglich Ist nach dem so eben Erwiesenen 



J5(0, 1, . . . . n) = ^(0 -♦- 1, 2, 3, n)» 



