672 Gesammtsitzung 



wenn für p alle Primzahlen, für tr alle ganzen Zahlen gesetzt 

 werden. Die Function der complexen Veränderlichen j, weiche 

 durch diese beiden Ausdrücke, so lange sie converglren, darge- 

 stellt wird, bezeichne ich durch 5'(^). Beide convergiren nur, 

 so lange der reelle Theil von s gröfser als 1 ist; es läfst sich 

 indefs leicht ein immer gültig bleibender Ausdruck der Function 

 finden. Durch Anwendung der Gleichung 



,_,. n(^-l) 

 X 'dx=i — ; 



/ 



erhält man zunächst 



n(s-i)^(s)=/ — — - 



Betrachtet man nun das Integral 



*(—x)'-* dx 



ß 



e'—l 



von -f- oo bis +00 positiv um ein Gröfsengeblet erstreckt, 

 welches den Werth o, aber keinen andern Unstetigkeitswerlli 

 der Function unter dem Integralzeichen im Innern enthält, so 

 ergiebt sich dieses leicht als gleich 



. , r*°° x' -* dx 

 «/ ^ — 1 

 vorausgesetzt, dafs In der vieldeutigen Function ( — x)' ~' 

 __ gU — i)log(— « ) jpp Logarithmus von — a: so bestimmt worden 

 ist, dafs er füi ein negatives x reell wird. Man hat daher 



^ . X 3. . r'°°(—xy-'dx 



2 sm TTs n(s—l) ^(s) = i I , 



«/ «. «' — 1 



das Integral in der eben angegebenen Bedeutung verstanden. 



Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function ^(j) 

 für jedes beliebige complexe s und zeigt, dafs sie emwerthig und 

 für alle endlichen Werlhe von s, aufser 1, endlich Ist, so wie 

 auch, dafs sie verschwindet, wenn ^ gleich einer negativen ge- 

 raden Zahl Ist. 



Wenn der reelle Theil von s negativ Ist, kann das Inte- 

 gral, statt positiv um das oben angegebene Gröfsengeblet, auch 

 negativ um das Gröfsengeblet welches sämmtliche übrigen com- 



