674 Gesammtsitzung 



Ich setze nun s= \- ti und 



2 



"(yX-^-O'^ ''^« = $(0, 



so dafs 



1 1 /*°° — — 



$(0 = — — ("-*- -^)/ ^^(•«)^ " cos (■|-/log^)dx 



oder auch 



?«=*/• 



:t; ■* cos {-^t log x) rfx. 



dx 



Diese Function ist für alle endlichen Werthe von / end- 

 lich, und läfst sich nach Potenzen von // in eine sehr schnell 

 convergirende Reihe entwickeln. Da für einen W^erlh von j, dessen 

 reeller Bestandtheil gröfser als 1 ist, log g'(j) = — 2log(I — p~' ) 

 endlich bleibt und von den Logarithmen der übrigen Factoren 

 von ^{t) dasselbe gilt, so kann die Function '^{t) nur ver- 



1 

 schwinden, wenn der imaginäre Theil von t zwischen — i und 



— — j liegt. Die Anzahl der Wurzeln von ^(/) = o, deren 



T TT 



reeller Theil zwischen und T liegt, ist etwa = — log — ; 



27r 2 TT 2 TT 



denn das Integral S^^^S-(0 positiv um den Inbegriff der 

 Werthe von t erstreckt, deren imaginärer Theil zwischen — i 



und 1 und deren reeller Theil zwischen und T licet, 



2 ^ ' 



ist, (bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Gröfse 



i . T 



— )gleich(Tlog T) i; dieses Integral aber ist gleich der An- 

 zahl der in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von ^(/) = o, , 

 multiplicirt mit Ztti. Man findet nun in der That etwa so viel ' 

 reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahr- 

 scheinlich, dafs alle Wurzeln reell sind. Hievon wäre allerdings 

 ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indefs die Aufsu- 

 chung desselben, nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen 

 vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck mei- 

 ner Untersuchung entbehrlich schien. 



