vorn 3. November 1859. 675 



Bezeichnet man durch « jede Wurzel der Gleichung ^(«)^0, 

 so kann man log ^(') durch 



2 log (!-£)+ log 1(0) 



ausdrücken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von der Gröfse 



t mit / nur wie log — wächst, so convergirt dieser Ausdruck 



und wird für ein unendliches / nur unendlich wie e log /; er un- 

 terscheidet sich also von log ^(/) um eine Function von //, die 

 für ein endliches / stetig und endlich bleibt und mit il dividirt 

 für ein unendliches t unendlich klein wird. Dieser Unterschied 

 ist folglich eine Constante, deren Werlh durch Einsetzung von 

 / = bestimmt werden kann. 



Mit diesen Hülfsmitteln läfst sich nun die Anzahl der Prim- 

 zahlen, die kleiner als x sind, bestimmen. 



Es sei P{>c), wenn x nicht gerade einer Primzahl gleich 

 ist, gleich dieser Anzahl, wenn aber x eine Primzahl ist, um 

 ^ gröfser, so dafs für ein x, bei welchem F(^x) sich sprung- 

 weise ändert, 



F(x + 0) + F(x-0) 

 /r(x) = . 



Ersetzt man nun in 



p~' durch s I x"' ~* dx. p~^' durch j / x~' ~^ dx. .... 



so erhält man 



log ^{s) 



^ / /(*) X ' ~* dx^ 



wenn man 



F{x)+^F{x^)+±F{x's)+... 



durch f{x) bezeichnet. 



Diese Gleichung Ist gültig für jeden complexen Werth 

 a + bi von j, wenn a > 1. Wenn aber in diesem Umfange die 

 Gleichung 



g{s)^ / h(x) x" dlogx 



