vom 3. November 1859. 679 



bei unaufhörlfchem Wachsen der Gröfse b convergirt, übereln- 

 stimml; durch veränderte Anordnung aber würde sie jeden be- 

 liebigen reellen Werlh erhalten können. 



Aus/(x) findet sich F(.r) mittelst der durch Umkehrung 

 der Relation 



n 

 sich ergebenden Gleichung 



worin für m der Reihe nach die durch kein Quadrat aufser 1 

 theilharen Zahlen zu setzen sind und ^ die Anzahl der Prim- 

 factoren von m bezeichnet. 



Beschränkt man i« auf eine endliche Zahl von Gliedern, 

 so giebt die Derivirte des Ausdrucks für /(o:) oder, bis auf einen' 

 mit wachsendem x sehr schnell abnehmenden Theil, 



j_ 

 > va *-°^ (" 'ogar) Ji'~'^ 



log X " 1^;^ 



einen angenäherten Ausdruck für die Dichtigkeit der Prim- 

 zahlen -f- der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate -*- — 



von der Dichtigkeit der Primzahicuben u. s. w. von de^r 

 Gröfse ;i-. 



Die bekannte Näherungsformel F(x) = Z/(.t) ist also nur bis 

 auf Gröfsen von der Ordnun- der Gröfse x^ richtig und giebt 

 einen etwas zu grofsen Werth; denn die nicht periodischen 

 Glieder in dem Ausdrucke von F{x) sind, von Gröfsen, die mit 

 :f nicht in's Unendliche wachsen, abgesehen: 



Li{x) - L Li (.^) - 1 Li (.3-) _ 1 Li (.>) + 1 Li (.T) 



1 



--Li(x^) + .., 



In der That hat sich bei der von Gaufs und Goid- 

 schmidt vorgenommenen und bis zu x = drei Millionen fortge- 

 setzten Vergleichung von Li{x) mit der Anzahl der Primzahlen 

 unter x diese Anzahl schon vom ersten Hunderttausend an stets 



