166 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Methoden verdrängt worden, und zwar defsbalb, weil jenes äl- 

 tere Verfahren nicht im Stande war, in allen Fällen nachzu- 

 weisen, dafs die ganzen Funktionen der Coefficienten, denen 

 die symmetrischen ganzen Verbindungen der Wurzeln gleich wer- 

 den, auch ganzzahlige Funktionen sind, d. h. solche, welche 

 ganze Zahlen zu ihren Coefficienten haben. 



Die neue Methode, welcher ich mich bediene, Ist ebenso 

 wie die letztgenannten, geeignet, diesen Nachweis zu Tühren, 

 sie unterscheidet sich aber wesentlich dadurch von ihnen , dafs 

 sie nicht wie jene, eine bestimmte Ordnung unter den Wur- 

 zeln festsetzt, sondern dieselben ebenso symmetrisch in die 

 Rechnung eintreten läfst, wie das ältere unvollständige Ver- 

 fahren. Das Prinzip dieser neuen Methode ist die Zuriickfiih- 

 rung der symmetrischen ganzen Verbindungen auf eine erzeu- 

 gende Funktion, aus deren Entwicklung sie sämmtlich hervor- 

 gehen. Die Bestimmung der erzeugenden Funktion durch 

 die Coefficienten der Gleichung ist daher das Problem, auf 

 welches die ganze Frage zurückkommt. Die Lösung dieses 

 Problems hängt nun, wie eine genauere Untersuchung zeigt, 

 von der Bestimmung einer bisher nicht betrachteten Determi- 

 nante ab, in deren Werth jene erzeugende Funktion als Faktor 

 enthalten ist, ein Resultat, welches schon an sich von allge- 

 meinerem Interesse für die Analysis zu sein scheint. Von die- 

 ser Determinante ausgehend gelangt man ohne Schwierigkeit 

 zur Bestimmung der erzeugenden Funktion, und die Form, 

 unter welcher sie erscheint, führt dann ferner auf eine Eigen- 

 schaft derselben, aus welcher durch einen einfachen Beweis 

 gefolgert werden kann, dafs die Ausdrücke der ganzen symme- 

 trischen Funktionen der Wurzeln durch die Coefficienten nicht 

 nur ganz sondern auch ganzzahlig sind. 



Bildet man den Ausdruck 



-.11 1 



(1) r = :§ . , 



t — et t, — Ctf t„ «„ 



welcher alle Glieder umfassen soll, die aus dem hingeschriebe- 

 nen dadurch entstehen, dafs von den beiden Reihen t,t,....t„ 



und a, rt, «„ die eine unverändert bleibt, die andere auf 



alle Arten permutirt wird, einen Ausdruck, der in Bezug auf 

 jede der beiden Reihen von Gröfsen symmetrisch ist, so führt 



