vom 5. Mein 1855. 167 



die Entwicklung von 7" nach fallenden Potenzen von /,/,..,. /„ 

 auf jene einfachsten Typen der ganzen symmetrischen Funktio- 

 nen von rt, «1 «„ , welche aus einem Produkt von Po- 

 tenzen dieser Gröfsen durch Permulation hervorgehen und aus 

 welchen man bekanntlich alle ganzen symmetrischen Funktionen 



von », et, a„ additiv zusammensetzen kann. 7^ ist daher 



als die erzeugende Funktion der ganzen symmetrischen Ver- 

 bindungen von cc,cc, a„ anzusehen, und die Bestimmung 



dieser Verbindungen ist auf das eine Problem zurückgeführt, den 

 Ausdruck der erzeugenden Funktion T so zu transformiren, dafs 

 nicht mehr die einzelnen Gröfsen et, «,....«„ darin vorkom- 

 men, sondern anstatt dessen die Coefficienten derjenigen ganzen 

 Funktion n -f- 1 ten Grades /«, welche für « = «,«,....«„ 

 verschwindet und die Einheit zum Coefficienten der höchsten 

 Potenz von z hat. 



Die verlangte Transformation der erzeugenden Function T 

 würde, direct angegriffen, eine ihrer Complication wegen schwer 

 lösbare Aufgabe sein. Sie vereinfacht sich aber Im höchsten 

 Grade, wenn man sie von der Betrachtung der Determinante 



D = 2 + . 



abhängig macht. Diese Determinante -D, welche schon In ihrer 

 Bildung die gröfste Ähnlichkeit mit der In der Analysls durch 

 Ihre vielfache Anwendung so bekannten Determinante 



A = S ± . 



t — « e, — «, t„ — «„ 



zeigt, steht mit derselben überdies in der merkwürdigen Be- 

 ziehung, dafs sie, durch jene dividirt, die erzeugende Funktion 

 T als Quotienten glebt, sodafs 

 (2) D = T . A 



ist. Der Ausdruck (ß fi, ft^Y B ist nämlich eine 



ganze Funktion von t,t, /„,«,«, •«„, welche eben- 

 sowohl durch das Produkt aller Differenzen zwischen /,/,..../„, 

 als auch durch das Produkt aller Differenzen zwischen «,«,.. 

 . . . «„ theilbar ist. Es bleibt daher nach der Division durch 

 beide Producte wiederum eine ganze Funktion als Quotient, 

 und es hat keine Schwierigkeit, die Werthe zu bestimmen, 

 welche dieser Quotient annimmt , wenn jede der Gröfsen 



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