vom 5. März 1855. 169 



Aber hiermit ist die Aufgabe noch nicht vollständig ge- 

 löst. In der That, betrachtet man die symmetrische Funktion 



(o) -2,«'^«,» . . . . cc„ " 



wo das Summenzeichen alle diejenigen durch Permutation von 



et, u oc„ aus dem hingeschriebenen Gliede hervorgehenden 



Glieder umfassen soll, welche fiir gegebene Werthe der Expo- 

 nenten und willkürliche Werthe von «, «, ....«„ von einander 

 verschieden sind , oder mit anderen Worten : betrachtet man 

 einen jener einfachsten Typen der ganzen symmetrischen Funk- 

 tionen, von welchen oben die Rede war, so kommt derselbe 

 in der Entwicklung von T nur dann ohne weiteren numerischen 

 Faktor als Entwicklungscoefficient vor, wenn die Exponenten 

 p,Pt • • ' • Pa sämmtlich von einander verschieden sind. Bedeu- 

 ten dagegen a, b, . . . . h ganze Zahlen, deren Summe = n -i- ^ 

 ist, und finden sich unter den Exponenten a welche = p, b wel- 

 che = q, etr h welche = s sind, so kommt in der Ent- 

 wicklung von T die symmetrische Funktion {5) mit dem Faktor 



N= i .2 aXl.2 ÄX....X1.2 h 



behaftet als Entwicklungscoefficient vor. Unter der Vorausse- 

 tzung, dafs zwischen den Exponenten p,pi .. . . p„ die soeben 

 angenommenen Coincidenzen stattfinden, ist daher die symme- 

 trische Funktion (5) nur dann ein ganzzahliger Ausdruck der 

 Coefficientcn von fz, wenn In der Entwicklung von der sie 

 enthaltende Entwicklungscoefficient durch iV theilbar ist. Diese 

 Theilbarkelt bleibt also zu beweisen übrig, d. h. es bleibt zu 

 zeigen, dafs, wenn in einem Term der Entwicklung von die 

 Variablen t, i^ . . . . t^ in irgend einer Ordnung genommen zu 

 den Exponenten — (;o -H l), — (/> , -f- 1) . . . . — {p„ ■+• l) erhoben 



sind, und diese Exponenten resp. zu a, zu b, zu h coin- 



cidiren, dafs dann der Coefficient dieses Terms durch N theil- 

 bar ist. 



Der Beweis dieser Theilbarkeil beruht nun auf folgenden 

 beiden Punkten: 



I. Anstatt die Exponenten —(yo-f-i), —(^,-l-l), . . . . _(^^_f-l) 



resp, zu a, zu b zu h coincidiren zu lassen, setze man 



fest, dafs die Variablen t, i, . . . . /„ In denselben Anzahlen co- 

 incidiren, sodafs a derselben = x, b derselben =/, etc 



