vom 5. März 1855. l7l 



Entwicklung von in zwei Klassen. Man setze in die erste 

 Klasse diejenigen Glieder, in welchen die Variablen je einer 

 Gruppe zu einem und demselben Exponenten erhoben sind, in 

 die zweite Klasse alle übrigen Glieder. Läfst man nun die 

 Variablen der ersten Gruppe in den Werth x, der zweiten in 

 /, etc. der letzten in w coincidiren, so reducirt sich (in Folge 

 der für // > f angenommenen Theilbarkeit) der in der zweiten 

 Klasse vereinigle Theil der Entwicklung von auf lauter Glie- 

 der, deren Coelficienten durch N theilbar sind. Da aber das- 

 selbe unter I. von der ganzen Entwicklung von bewiesen 

 worden ist, so gilt es auch von dem in der ersten Klasse 

 vereinigten Theil für sich. Dies Resultat ist gleichbedeutend 

 damit, dafs die zu beweisende Theilbarkeit (lir f.« =: c stattfindet, 

 (vorausgesetzt, dafs sie für f-i > i» wahr ist). Für f* s= n -f- 1 ist 

 sie evident, weil dann N= l ist, folglich gilt sie auch für 

 fx = n, folglich auch für fj,:=n — I, etc. folglich allgemein. 



Schliefsilch sei noch bemerkt, dafs für die speciellen sym- 

 metrischen Funktionen (5), in welchen eine gewisse Anzahl 

 von Exponenten, z. B. p„, p„ — i, • • • • Pm+\ verschwinden, eine 

 specielte erzeugende Funktion aufgestellt werden kann, welche 

 nur 771 -f- 1 Variablen enthält. Ihr Ausdruck durch die Coeffi- 

 cienten von/: ist dem Ausdruck ganz analog, nämlich: 



^' ^ ^ n(t.t^....ij' dt d^i dt\ ftft,....ft^ j 



Man erhält denselben als die Grenze, welcher sich für unend- 

 lich grofse Werlhe von ^„^,,/„^2" • •'/■ der Ausdruck /„^., .<„+2.. 

 ...t^ .0 nähert. Die Funktionen, welche in diesem Falle die 

 Determinanten D und A vertreten, sind weniger einfach als 

 jene Gröfsen, sie gehen aus denselben durch Anwendung des 

 sogenannten Laplace'schen Determinantensatzes hervor. 



Für 771 = o wird der Ausdruck (6) die bekannte erzeu- 

 gende Funktion der Potenzsummen von «,«(....«,, nämlich 

 1 dft 

 ft dt 



