vnm 26. y^pril 1855. 259 



körperlichen Raumes bewegen, und es kommt darauf an, zu be- 

 stimmen, wann der Punkt auf die Oberfläche dieses Raumes tritt, 

 ferner, wann diese Oberfläche eine Kante und wann eine Spitze 

 hat. Nennen wir diese 3 Oberflächen, wie oben, j4, B, C, die 

 Punkte des Körpers, mit welchen er sich auf jenen bewegt, a, b, c 

 und die Normalen, welche in a, *, c auf A^ jß, C errichtet wer- 

 den können, «, /3, 7, so geht durch a, /3, 7 stets ein Hyperboloid; 

 fällt nun der betrachtete Punkt p des Körpers in die Fläche des 

 Hyperboloids, so befindet er sich auf der Oberfläche des Raumes, 

 in dem er sich bewegt, und die Normale dieser Oberfläche wird 

 angegeben durch die Gerade des Hyperboloids, welche durch den 

 Punkt p geht und zur Schaar von «, /3, 7 gehört. Die Punkte 

 a, 6, c bewegen sich auf ihren Flächen A^ B^ C ebenfalls auf 

 geschlossenen Flächenräumen und treten auf die Grenzcurven nur 

 in dem Falle, wenn 2 der 3 Normalen a, /3, 7 sich schneiden, 

 und sie selbst in die Ebene der beiden Normalen fallen. Die 

 Construction der Normalen selbst läfst sich dann leicht vollziehen. 



Schneiden sich von den Normalen «, ß und 7 zwei in einem 

 Punkte, so mufs der Pundt p auf der Verbindungsebene dieses 

 Schnittpunktes mit der dritten Normale liegen, wenn er sich auf 

 der Oberfläche des Raumes, in dem er sich bewegt, befinden soll. 

 Liegt der Punkt p in dem Schnittpunkte selber, so hat die Ober- 

 fläche an dieser Stelle eine Kante. 



Schneiden sich alle drei Normalen o, ß, 7 In einem Punkte, 

 so sind alle Punkte p des Körpers auf Ihre Oberfläche getreten, 

 auf welche sich überhaupt in diesem Falle der körperliche Raum 

 reducirt, und man erhält die Normale der Oberfläche jedes Punk- 

 tes, Indem man denselben mit dem Schnittpunkte der 3 Normalen 

 verbindet. Liegt der Punkt p In dem Schnittpunkte der 3 Nor- 

 malen, so hat seine Oberfläche an dieser Stelle eine Spitze. 



12. Bewegt sich der Körper mit 2 Punkten a und b nur 

 auf 2 Oberflächen A und B , so Ist Im Allgemeinen der Raum, 

 Innerhalb dessen sich ein Punkt p des Körpers bewegen kann, 

 ebenfalls ein beschränkter. Soll der Punkt p auf die Oberfläche 

 dieses Raumes treten, so müssen die Normalen « und /3 In einer 

 Ebene und der Punkt p In derselben Ebene liegen. Die Normale 

 dieser Oberfläche Ist nach dem Schnittpunkte der Normalen » 



