306 Si/sung dirr phjcsikaHieh-mathematischen Klusse 



Ilr. Dirichlet Icijlc folgenden Nachtrag tu einem 

 Aufsatse von Hrn. Prof. Heine vor, welcher im letr.len 

 Jahrgänge des Monalsberichls abgedmckl ist. 



Im vorigen Jahre habe Ich Ihnen eine .\bhandlung mltge- 

 theilt. In welcher ich auf die Aufgabe geHihrl wurde, ein ellip- 

 tisches Integral der ersten Gattung, in welchem uuter den 

 Wurtebeichen imaginäre Constanle vorkommen, wenigstens iVir 

 einen gewissen speciellen Fall in die kanonische Form der el- 

 liptischen Integrale zu verwandeln*). Indem ich mich seitdem 

 mit der Transformation in dem allgemeinen Falle beschäftigte. 

 wurde es nolhwendig, das Fundamenlal-Problem, auf welches 

 diese Aufgabe unmittelbar fiihrt , gleichr.ills mit einem allge- 

 meineren EU vertauschen. Über d.isselbe erlaube ich mir iol- 

 gende Mittheilungen su machen. 



Unsere Aufgabe besteht darin, ein elliptisches Integral 



I " . wenn t eine imasrinäre (comniexe) Grölse 



beseichnet, die auf gegebene Art continuirlich von dem An- 

 fiingswerlhe o zu dem Endwerlhe Z Kiuft, und wenn ferner di 

 Quadratwurzeln mit z sich contiDuirlich äudero, als die Summe 

 von den Integralen 



r' dx . / ** d X 







deren Grenzen a und b reel und nicht gröfser als \ sind, dar 

 zustellen. Für den Fall, dafs k reel ist, hat Richelot Formeln 

 für a und b gegeben; wir haben uns unter k eine complexe 

 Gröfse vorzustellen, deren Modulus kleiner als 1 ist. 



Es ist bekannt, dafs das Integral nach Sy. je nach dem 

 Wege auf welchem i von o bis Z gelangt, verschiedene NVerlhe 

 annehmen kann, die sich aber um gante Vielfache von A' und 

 lÄ'' unterscheiden. Auch lassen sich diese Vielfachen, ui 

 welche das Integral zunimmt, wenn man von einem gegebene 

 Wege zu einem andern übergeht, leicht bestimmen. Es ist da 

 her nur nöthig — und das soll der Kürze halber hier geschehe 



das Integral Tür irgend einen willkührlich gewählten We, 



zu bestimmen. 



*) Monatsbericht des Jahres 1S54. p. 570. 



