494 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



legt. Unter diesen Anflösungen glebt es unendlich viele, in denen 

 i/,_ durch eine beliebige (positive) Zahl »5" iheilbar ist, und die Ex- 

 ponenten n, für die dieser Umstand statt findet, sind die aufeinan- 

 der folgenden Vielfachen des kleinsten N derselben. Setzt man 

 nämlich D' —. D S\ und bildet die neue Gleichung 



e'"— D' u'^ = 1 



so erhellt, dafs jede Auflösung dieser letzteren, wenn t = i', u = 

 *$""' gesetzt wird, eine Auflösung von (l) ergiebt, in welcher u 

 durch S aufgeht, und umgekehrt, woraus das Behauptete und über- 

 dies folgt, dafs iV durch die Gleichung 



(T -^ U yD)^ = T'-^U' iB' 



bestimmt wird, worin T' , i/' die kleinsten Wertbe von t', u' be- 

 deuten. 



Man kann, ohne T' , U' zu kennen, den Exponenten iVangeben, 

 sobald fiir jeden der verschiedenen in »y enthaltenen Primfactoren /? 

 der kleinste Werth v, für den u^ durch /? aufgeht, und zugleich der 

 Exponent o der höchsten Potenz von p bekannt Ist, durch welche 

 u^ theilbar Ist. Man überzeugt sich nämlich ohne Schwierigkeit, 

 dafs, wenn « eine beliebige durch /7^ (wo £ auch ISull sein kann), 

 und keine höhere Potenz von p thellbare Zahl bedeutet, unter der 

 vorhin gemachten Voraussetzung p^+^ die höchste In u ^ aufge- 

 hende Potenz von p sein wird, so dafs also die erforderliche und 

 ausreichende Bedingung dafür, dafs i/.^_. durch p" aufgehe, darin 

 besteht, dafs e durch p"-^ theilbar sein nuifs, wo natürlich die Dif- 

 ferenz a — o, wenn sie negativ wird, auf Null zu reduciren Ist. 



Unterscheidet man nun die verschiedenen In S enthaltenen 

 Prlmfactoren p so wie die Ihnen entsprechenden Wertbe v, O 

 durch Indices, und setzt 



S = p p ^- . . . 



SO ist nach dem Gesagten N das kleinste gemeinschaftliche Viel- 

 fache der Zahlen 



und man sieht sogleich, dafs wenn man ohne neue Primzahlen In 

 S aufzunehmen, sämmtllche Exponenten a,, a^ , . . . über jede 



