vom 4. Mai 1857. 281 



^,(«)0.(«)0.(«-')=7V(«), 



^, («) 0. («)©.(*-' ) = r.(«), 

 so wird durch Einführung dieser complexen Zahlen T^{cc) und 

 T,(^ci) die Gleichung (7.) leicht in folgende Form verwandelt: 



T,{aY + ^, («)7'.(«)'=^.(«)(2-*-«-'j'"'~"Vc«)''. (8.) 

 Weil nun T,(^cc) und T, (^ct) nichlcomplexen ganzen Zah- 

 len congruent sind für den Modul X, so schliefst man leicht, 

 dafs die Ä"" Potenzen derselben T,(a)^ und T,{cc)^ nichlcom- 

 plexen Zahlen congruent sind für den Modul ?.^ und da aufser- 

 dem die rechte Seite der Gleichung (8.) durch X^ theilbar ist, 

 dafs die Einheit (5, (a) einer nichlcomplexen Zahl congruent 

 ist für den Modul A". Diese Einheit ist also nach dem Lehr- 

 satze 1 eine X'° Potenz einer Einheit. Man kann daher setzen 



(S, («) 2\ («)^ = ^t 

 und wenn man aufserdem setzt 



so hat man endlich 



u\ -h r\ = E,(c<){2-oi,-cc-')""~'^^ fr'i (9.) 



eine Gleichung genau von derselben Form als die vorgegebene 

 Gleicliung (1). Es ist klar, dafs durch wiederholte Anwendung 

 derselben Methode aus dieser Gleichung eine dritte Gleichung 

 derselben Form erhalten werden mufs, aus dieser sodann eine 

 vierte, fünfte und so fort Ins Unendliche. Dafs eine unendliche 

 Reihe solcher Gleichungen eine unendliche Reihe absoluter 

 ganzer Zahlen ergeben müfste, in welcher von einer endlichen 

 Zahl anfangend jede folgende nolhwendig kleiner wäre als die 

 vorhergehende, wird hier durch die Betrachtung der Anzahl 

 aller verschiedener idealer Primfaktoren gezeigt, welche die 

 complexen Zahlen fV, ^n ^^z? •••• enthalten, Indem bewie- 

 sen wird, dafs jede folgende complexe Zahl dieser Reihe nolh- 

 wendig weniger verschiedene ideale Primfaktoren enthalten 

 mufs, als die vorhergehende. 



Nachdem so die Richtigkeit des letzten Fermatschen Lehr- 

 satzes für alle diejenigen Potenzen bewiesen ist, deren Expo- 

 nenten den obigen drei Voraussetzungen entsprechen, unter- 

 suche ich in dieser Beziehung die drei Zahlen X = 37, ?. = 59 



