302 Sitzung der physikalisch-niatfiematischen Klasse 



In dem System der Gleichungen, durch welche Jacob! die 

 Funktionen mehrerer Variablen in die Theorie der Abel'schen 

 Integrale eingeführt hat, kommen die n Integrale vor: 



$(..)=rj^-, *.(.)= r^^ *„_,w=r:::^ 



wo X eine ganze Funktion 2n-j-i'*" Grades ist, welche 



= x(^\—y.^^x){i — ■Ax) (1 — «2„x) 



gesetzt werden mag. Dies vorausgesetzt, so sind die Jacobi'schen 

 Gleichungen : 



M=2$(^), M,=2#,(ac), M„_, = 2*„_,(a;) 



wo sich die Summen über die Argumente x, x^ ^»_> er- 

 strecken. 



Die durch diese Gleichungen definirte Abhängigkeit der Grö- 

 fsen X von den Gröfsen u ist nun, wie man weifs, eine solche, 

 dafs jede symmetrische ganze Funktion der Gröfsen x eine ein- 

 deutige Funktion der Gröfsen u ist. 



Betrachtet man jetzt den besonderen Fall, wo alle Moduln 



y. verschwinden, also X=x wird, so werden m, u^ "n—i» 



abgesehen von Zahlenfaktoren, den ersten n ungeraden Potenz- 

 summen von Vx, 1^*1, V^^'n-i gleich. Alle symmetrischen 



Funktionen der Gröfsen x z. B. die ersten n geraden Potenz- 

 summen der Quadratwurzeln Vx, F«, Vx.„_^ lassen sich 



also eindeutig durch die ersten n ungeraden Potenzsummen der_ 

 selben ausdrücken, und somit gilt dasselbe von jeder symmetri- 

 schen Funktion dieser Quadratwurzeln. 



Ich habe geglaubt diesen Zusammenhang nicht übergehen 

 zu dürfen, weil man vermöge desselben die in Rede stehende 

 Eigenschaft der ungeraden Potenzsummen a priori als nothwen- 

 dig erkennt. Ich werde nun den rein algebraischen Weg an- 

 geben, auf welchem man zu demselben Ergebnifs gelangt. 



2. Sind die ersten n ungeraden Potenzsummen Si, s^ 



s2„-\ der Gröfsen a;,, x^ t„ gegeben, so ist der aufge- 

 stellte Satz erwiesen, sobald gezeigt ist, dafs die Coefficienten 

 der ganzen Funktion 



f{z) = {\-x,z){l-x„z) (.\-x„z) 



