rom 8. Juni 1857. 303 



durch die Gröfsen s,, s^ -^z^-i rational darstellbar sind. 



Anstatt dieser Funktion /(z) betrachte man zunächst die irratio- 

 nale Funktion 



(1) 4^(z) = [^ y^y = 1 -f- /,. + /, z^ H- 



Durch logarithmisches Differenziren leitet man daraus ab: 



(2) -r-r— = 2 '-Y-2 = St -i-Sjz'-hSii* -h .... 



yy {z) 1=1 1 — x,- i 

 also : 

 /, -^-it^z -f-S/j«^ -I- .... 



= {l-f- /, Z-f-^aZ*^ -i- ....} {.5, -i-s^z^ -\- s^z* + .,..} 



und hieraus ergiebt sich eine Reihe von Gleichungen: 



3/3 =J, fi -f-^3 



I /f, = .f , <,_, -I- jj /,_, -+- jj /,_j -f- 



etc. 

 aus welchen man sieht, dafs die Entwicklungscoefficienten <,, 

 /j .... bis ^2„ auf recurrirende Weise aus den bekannten \Ver- 

 then j,, .r, .... .5^„_i bestimmbar sind. Man kann sie auch auf 

 independente Weise definiren und braucht hierzu die Gleichung 



(2) nur wiederum zu Integriren. Es erglebt sich alsdann für 

 4^{z) die Exponentialgröfse : 



(3) vf.(z)=/'"-^T-^^"'-+-^"*"'-^----^2ir^-^^'-' ^'"~'-H...-, 

 deren erste 2n Entwicklungscoefficienten die Gröfsen /,, l^ .... 

 t.2n sind. Diese 2n Gröfsen / hängen nur von denjenigen Glie- 

 dern des Exponenten ab, in welchen z den Grad in — l nicht 

 übersteigt, und es ist daher für die Bestimmung derselben gleich- 

 gültig, welche Coefficienlen man den höheren Potenzen von t 

 in jenem Exponenten glebt. 



Es handelt sich nun darum, aus der bis z^" bekannten Ent- 

 wicklung von 4^{z) die Funktion /(r) zu bestimmen. Dies ge- 

 schieht durch Betrachtung der Funktion 



%u) = ^fWi^) = i'o - r^oo—^'')"..(i— «-!«'') 



= 1 -t- 1/2 z' -f-y^r' -+-.... 



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