308 Sitzung der physikalisch-malhetnatischcn Klasse 



4. Man kann die in Gleichung (7) enthaltene Lösung der 

 vorliegenden Aufgabe auch in eine andere Form bringen, indem 

 man die Bestimmung von/(z), anstatt sie von der Bildung einer De- 

 terminante abhängig zu machen, auf eine Kettenbruch -Entwick- 

 lung zurückführt. 



Es wurde /(a) dadurch definirt, dafs in dem Produkt /(2).\^(i) 

 die Potenzen «, z'^ z^n-i nicht enthalten sein dürfen. Eben- 

 dasselbe gilt natürlich für das Produkt /(—x) • %^(—i), und hier- 

 aus folgt, dafs in der Differenz 



/(.)^^(z)~/(-z)^^(-z) 



z*""*"' die niedrigste nicht fortfallende Potenz von z ist, voraus- 

 gesetzt dafs man für \|/ (2) seine nur bis z^" richtige Entwicklung 

 setzt, während für den strengen Ausdruck von -^{z) die obige 

 Differenz identisch =: ist. 

 Man hat also 



f(z)^(z) _/(_^)v|/(-z) =2C.z2"+' ^ gj^ 

 Setzt man nun 



/(.) = Ö(.^) - zyi(z% 4^(z) = <r(.^) -H zr(z') 

 f{-z) = Ö(z^) -+- zr,{z'\ -^{-z) = cr(z^) - zt{z% 



so erglebt sich 

 f{z)^{z) - f{-z)-^{-z) = 2z{Hz')r{z'') ^ y,{z') y{z-')} 



also verwandelt sich die obige Gleichung in 



B{z^)r{z"-)-y^{z^)iT{z'')= C z^" -h .... 

 oder 



i(f!> _ "^ = cz^'^ -t- 



<y{z') ö{z-') 



und hieraus schliefst man nach bekannten Sätzen über Ketten- 



brücbe, dafs ein Näherungsbruch des Kettenbruchs ist, in 



B(z ) 



welchen man den Bruch 



e^(^') ^ _1^ ^ 4.(z)~4^(-z) _ i , -j-i^ z^ -t-... 

 t(z^) z*v^(^)4-4.(_z) i ^tiZ^-i- 



entwickelt. Setzt man diesen Kettenbruch 



etc. 



