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jede Andeutung über die /Vrt und Weise, wie Abel diese merk- 

 ^yiirdIge Eigenschaft jener besonderen Gattung von elliptischen 

 Functionen gefunden hat. Dafs dies erst nach Abfassung des 

 Aufsatzes „Recherches sur les fonctions elliptiques" geschehen, 

 geht aus einer in demselben befindlichen Stelle (Band I. pag. 

 248 der oeuvres completes oder Band III. pag. 182 des Crelle- 

 schen Journals) hervor, die noch Zweifel an der Auflösbarkelt 

 der Gleichungen enthält, durch welche die oben erwähnten Mo- 

 duln bestimmt werden. — Angeregt durch die zuerst angeführte 

 Bemerkung Abel's und in der Absicht einen Beweis dafür zu 

 suchen beschäftigte ich mich im vergangenen "Winter mit der 

 Untersuchung derjenigen elliptischen Functionen, für welche 

 complexe Multipiication stattfindet, und ich habe dabei aufser 

 dem gesuchten Beweise noch mehrere interessante Resultate ge- 

 funden, von denen ich einige hier in Kürze mitthellen will. 



Bedeutet n eine positive ungrade Zahl welche gröfser als 

 3 ist, bezeichnet man ferner mit >t den Modul der elliptischen 

 Functionen und mit k dessen Quadrat, so ist die Anzahl der 

 verschiedenen Werthe von Ar, für welche eine Multipiication der 

 elliptischen Functionen mit V — n möglich ist d. h. für welche 

 sin "am (V — n . u, x) als rationale Function von sin ^ am (u, x) 

 und X dargestellt werden kann, gleich dem Sechsfachen der An- 

 zahl der verschiedenen zur Determinante — n gehörigen Classen 

 quadratischer Formen. Alle diese Werthe von k sind expiiclte 

 algebraische Functionen irgend eines derselben; sie sind ferner 

 Wurzeln einer ganzzahligen Gleichung, deren Grad gleich der 

 Anzahl jener Werthe ist und welche in so viel ganzzahlige Fac- 

 toren zerlegt werden kann, wie die Anzahl der verschiedenen 

 zur Determinante —n gehörigen Ordnungen beträgt. Zu jeder 

 dieser Ordnungen gehört ein bestimmter Factor jener Gleichung, 

 dessen Grad gleich der sechsfachen Anzahl der in der bezüg- 

 lichen Ordnung enthaltenen Classen ist. Der zu der eigentlich 

 primitiven Ordnung gehörige Factor ijt endlich in sechs Facto- 

 ren von gleichem Grade zerlegbar, deren Coefficienten nur ganze 

 Zahlen und V n enthalten. Der Grad einer jeden dieser sechs 

 Thellgleichungen ist also gleich der Anzahl der zur Determinante 

 — n gehörigen eigentlich primitiven Classen und eine dieser 

 Thellgleichungen ist es, welche den Charakter der Auflösbarkeit 



