vom 2y. üctoher 1857. 457 



am klarsten darlegt. Die Wurzeln derselben haben nämlich die 

 Eigenschaft, dafs sie sämmtllch als rationale (nur ganzzahlige 

 Coefficienten enthaltende) Functionen Irgend einer der.>clben dar- 

 gestellt werden können, und dafs für je zwei solche Functionen 

 (/)(Ä) und -i/^k) die Gleichung (/)(4/(ä)) = \l/((/) (ä:)) stattfindet. 

 Wenn n Primzahl und — n als Determinante quadratischer For- 

 men regulär Ist, so Ist die erwähnte Theilgleichung eine Abel- 

 sche Gleichung und in allen andern Fällen hängt der speclelle 

 Charakter derselben, die Anzahl der Perloden Ihrer Wurzeln 

 u. s. w. von der Anzahl der Genera und dem Exponenten der 

 Irregularität für die Determinante — n ab. Wenn endlich« eine 

 grade Zahl Ist oder die Werthe 1, 3 hat, so haben die zuge- 

 hörigen Werthe von k Eigenschaften , welche den eben ange- 

 führten durchaus analog sind. Welchen Werth die Zahl n aber 

 auch haben möge, so entsprechen stets einer und derselben Classe 

 der zur Determinante —n gehörigen quadratischen Formen be- 

 stimmte zusammengehörige Werthe von /r, und zwar so, dafs 

 durch die Coefficienten irgend einer in jener Klasse enthaltenen 

 Form die Werthe des k und umgekehrt jene Coefficienten durch 

 diese Werthe des k In transcendenter Weise ausgedrückt wer- 

 den können. 



Die elliptischen Functionen, für welche complexe Multlpli- 

 calion staltfindet, stehen Ihren wesentlichen Eigenschaften nach 

 zwischen den Kreisfunctionen einerseits und den übrigen ellipti- 

 schen Functionen andrerseits. Wie nämlich die den Kreisfunc- 

 tionen entsprechenden Werthe Ar = und ä: = ± 1 als äufscrste 

 Grenzwerthe zu betrachten sind, so werden auch die Werthe der 

 Moduln jener besonderen Gattung von elliptischen Functionen da- 

 durch als Grenzwerthe charakterlsirt, dafs nur für diese, so wie 

 für jene speciellen Werthe und ±1, die Modulargleichungen 

 gleiche Wurzeln enthalten. Während ferner für die Kreisfunc- 

 tionen nur Multiplication, für die allgemeinen elliptischen Func- 

 tionen aber Multiplication und Transformation stattfindet, verliert 

 die Transformation bei jener besondern Gattung elliptischer Func- 

 tionen zum Thell Ihren elgenthümlichen Charakter und wird selbst 

 eine Art von Multiplication, Indem sie gewissermaafsen die Mul- 

 tiplication mit Idealen Zahlen darstellt. Wie nämlich für eine 

 Zahl /7, welche sich durch die zur Determinante — n gehörige 



