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Hauptform: x^ -t- nj^ darstellen läfst, eine der Transformalionen 

 pler Ordnung die Multiplication mit x-i-/V — n d. h. die Dar- 

 stellung von sin'^arn (x -i- j V — n) . u als rationale Function von 

 sm"^ am u und« gewährt, so ergiebt eine der Transformationen </ter 

 Ordnung, wenn q durch eine der übrigen zur Determinante — n 

 gehörigen Formen darstellbar ist, eine transformirte Function: 

 sin^am Qx . w, X) ausgedrückt als rationale Function von sin^am 

 (w, h) und >c , in welcher a einer der andern Moduln ist, für 

 welche Multiplication mit V — n stattfindet, in welcher ferner ia, 

 zu einem bestimmten Werthe von V — n (mod. </) gehört und 

 gradezu die Stelle eines idealen Factors von q vertritt. Diese 

 Multiplicatoren: t-'- sind expllcite algebraische Irrationalitäten und 

 es ist in vielfacher Hinsicht bemerkenswerth, dafs hier ein erstes 

 Beispiel gegeben ist, in welchem die Analysls die Irrationalitäten 

 zur Darstellung idealer Zahlen gewährt. 



Bei dem genauen Zusammenhange, in welchem die elliptischen 

 Functionen, für welche Multiplication mit V — n stattfindet, zu 

 den quadratischen Formen für die Determinante — " stehen, ist es 

 erklärlich, dafs aus der Untersuchung jener besondern Gattung von 

 elliptischen Functionen viele auf die Theorie der quadratischen 

 Formen bezügliche Resultate hervorgehen. Unter diesen will ich 

 hier nur gewisse höchst einfache recurrirende Formeln hervorhe- 

 ben, welche sich für die zu negativen Determinanten gehörigen 

 Classenanzahlen aufstellen lassen und welche namentlich zu deren 

 Berechnung sehr geeignet sind. Die Formeln sind aber auch von 

 rein theoretischem Interesse, zumal einige derselben auf arith- 

 metischem Wege schwer zu beweisen sein dürften. Ein anderer 

 Thell der erwähnten Formeln kann zwar aus der bekannten Be- 

 ziehung zwischen der Anzahl der Darstellungen einer Zahl n als 

 Summe von drei Quadraten und der zur Determinante — n ge- 

 hörigen Classenanzahl hergeleitet werden; die Benutzung dieser 

 Beziehung zur Aufstellung jener Formeln ist Indessen durchaus 

 neu, und — was viel wichtiger ist — diese Beziehung selbst kann 

 umgekehrt vermittelst jener aus der Theorie der elliptischen 

 Functionen resultlrenden Formeln bewiesen werden. Als Bei- 

 spiele der erwähnten Formeln mögen die folgenden drei die- 

 nen, von denen nur die zweite in der eben bezeichneten Welse 

 auf arithmetischem Wege hergeleitet werden kann. Es Ist nämlich 



