vom 10. Decemher 18o7. 619 



xlmums unrl Minimums erforderliche Reduction der zweiten Va- 

 riation vermöfje der rntegralion derjenigen Differentialgleichun- 

 gen zu leisten ist, welche durch das Verschwinden der ersten 

 Variation bedingt werden. Dieser Gedanke findet sich am ange- 

 führten Orte auf solche einfache Integrale angewendet, welche 

 unter dem Integralzeichen eine abhängige Variable und deren 

 Dlfferenllalquollenten enthalten. Die Ableitung des Resultats, 

 welches Jacob! dort ohne Beweis mltlheilte, hat seitdem den Ge- 

 genstand von Abhandlungen der Mathematiker Lebesgue, Delau- 

 nay, Spitzer, Heine und neuerdings noch von Hesse gebilrlet, 

 ohne dafs bis jetzt für andere Aufgaben der Variationsrechnung 

 als die von JacobI bereits betrachteten eine ähnliche Behand- 

 lungswelse versucht worden wäre. Ich habe mich gegenwärtig 

 mit der Anwendung der Jacobischen Principien auf zwei neue 

 Aufgaben beschäftigt, und erlaube mir, die von mir erhaltenen 

 Resultate hier mltzuthellen. 



Die allgemeinste Aufgabe, welche die Variationsrechnung In 

 Bezug auf einfache Integrale zuläfst, Ist, ein Integral zu einem 

 Maximum oder Minimum zu machen, welches unter dem Integral- 

 zeichen eine beliebige Anzaid simultaner abhängiger Variabein 

 und beliebige Differentinlquotlenten derselben enthält, während 

 noch Irgend welche Differentialgleichungen zwischen diesen 

 Functionen als Bedingungsgleichungen gegeben sind. 



Die zweite Variation stellt sich hier so dar, dafs unter dem 

 Integralzeichen ein homogener Ausdruck zweiter Ordnung aus 

 den Variationen der abhängigen Variablen und ihren Diflerentlal- 

 quoticulcn steht Durch theilwelse Integration kaini man dies In- 

 tegral auf ein anderes zuriickftdiren, wo unter dem Integralzei- 

 chen nur diejenigen Terme bleiben, welche früher in die zwei- 

 ten Dimensionen der respective höchsten Differentialquotienten 

 der Variationen multipllclrt waren, und wo an die Stelle dieser 

 Differentinlquotlenten lineare Verbindungen treten, die aus den 

 Varlalionen und ihren Differentialquotienten zusammengesetzt 

 sind. Die Coefficienten dieser linearen Verbindungen sind Brüche 

 mit gemeinschaftlichem Nenner, Zähler wie Nenner in Determi- 

 nantenform sich darstellend; und die Elemente dieser Determi- 

 nanten sind aus gewissen partlcularen Lösungen des Systems si- 

 multaner Differentialgleichungen, welche das Verschwinden der 



