160 Gesammtsitzung 
5 Feı)=C+A + A, 2, +A2 2 +.:..+ A 2-0 
wo (0, A, A, ...A,_, als einzige Irrationalität die Einheitswur- 
zel « enthalten, also complexe Zahlen in « sind. 
Jede ganze complexe Zahl F (z) läfst sich wie leicht zu se- 
hen auch in folgende Form bringen: 
Fw)=B+-Bw+ Bw’ +....+ B_, »"' 
wo B,B,,... B,_, ganze complexe Zahlen in « sind. Nennt 
man nun einen Ausdruck F (») von dieser Form eine complexe 
Zahl in », so ist jede ganze complexe Zahl in z zugleich eine 
ganze complexe Zahl in w. Man kann auch umgekehrt jede 
ganze complexe Zahl in » als complexe Zahl in = darstellen, 
aber im allgemeinen nicht als ganze, sondern nur als gebrochene, 
weil die Ausdrücke von », w® ....w»*=' durch 2, 21,... 2 _4 
die Zahl A in den Nennern enthalten. Damit eine ganze com- 
plexe Zahl in » auch eine ganze complexe Zahl in = sei, muls 
unter den Coefficienten derselben ein System von A — 1 Be- 
dingungs-Congruenzen für die Moduln 9, 9°, 2°... g*7', Statt 
haben. Die ganzen complexen Zahlen in » sind daher die all- 
gemeineren, die ganzen complexen Zahlen in z die specielleren; 
alle Eigenschaften jener müssen auch diesen zukommen, aber 
diese haben aufserdem gewisse besondere Eigenschaften für sich, 
und zwar sind es grade diese besonderen Eigenschaften der 
complexen Zahlen in z, welche für die Ergründung der allge- 
meinen Reciprocitätsgesetize von der grölsten Wichtigkeit sind, 
Zu denjenigen Eigenschaften, welche die complexen Zahlen 
in z mit denen in ® gemein haben, gehören die idealen Prim- 
faktoren, welche für beide Theorien dieselben sind, bei deren 
Untersuchung daher die Form der complexen Zahlen in w als 
die einfachere zu Grunde gelegt wird. Bei der Frage wie die 
Primzahlen in « in der Theorie der complexen Zahlen in » 
weiter zu zerlegen sind, damit man die wahren Primfaktoren 
in dieser höheren Theorie erhalte, sind zunächst diejenigen be- 
stimmten Primfaktoren von der Form f(«), welche in 2.D(«) 
enthalten sind auszusandern und alsdann die übrigen in zwei 
besondere Arten zu unterscheiden, je nachdem für sie D(«) ein 
Nichtrest oder ein Rest einer Aten Potenz ist. Von den com- 
plexen Primzahlen der ersten Art, welche durch \(«) bezeich- 
net werden, für welche also nach dem Legendre’schen Zeichen, 

