
vom 4. März 1858. 213 
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nothwendig unabhängig von einander sind, und auch 3,, %, nicht 
beide Null sein können, weil sonst die Determinante von & Null 
sein mülste, so wird man reelle Werthe von &,,...,x,„ der- 
gestalt bestimmen können, dals die vorstehenden Functionen alle 
Null werden, mit Ausnahme von «,, v,, diese aber beliebig fest- 
gesetzte Werthe erhalten. Folglich wird & bei reellen Werthen 
VON X, &gy ..., x, sowohl positiv als negativ werden können. 
Dasselbe läfst sich von / sagen. Denn da s, imaginär, also 
nicht Null sein soll, so ist auch 
hier nd) KG Hhıd) 
nicht Null, also sicher auch nicht jede der Grölsen g’,, }’,, was 
genügt, um für Y denselben Schluls zu machen wie für $. 
Hieraus folgt nun unmittelbar der wichtige, für den Fall, 
wo d=a? +-x3+...+% ist, zuerst von Cauchy, und 
später in directerer Weise von den Herren Borchardt und 
Sylvester bewiesene Satz, dals die Wurzeln der Gleichung 
(5) = 0, vorausgesetzt zunächst, dals sich keine gleiche unter 
ihnen finden, nothwendig alle reell sind, sobald eine der Functio- 
nen d, bei reellen Werthen von x;,&3, ...; &, stets das- 
selbe Zeichen behält. 
4. 
Gehen wir jetzt zu dem Falle über, wo die Wurzeln der 
Gleichung /(s) = nicht alle von einander verschieden sind. 
Die in den Formeln (10, 11) vorkommenden zusammengehörigen 
Functionen S,, ©, haben alsdann nur die Eigenschaft, dafs sie 
sich, wenn s, eine Afache Wurzel der genannten Gleichung ist, 
beide durch dieselben A linearen Ausdrücke von x,, &3, ...,%, 
darstellen lassen. Aber es ist im Allgemeinen nicht möglich, 
dies so zu bewerkstelligen, dals in beiden nur die (Juadrate der 
neuen Veränderlichen vorkommen. Hierzu ist nämlich ertorder- 
lich, das © ,=s,®, sei; und dieses findet nur statt, wenn 
eine Anzahl von Bedingungsgleichungen unter den Goeffhicienten 
von #, W und.s, erfüllt sind, welche keine algebraische Folge 
derer sind, die ausdrücken, dafs s, eine mehrfache Wurzel der 
Gleichung f(s) = 0 ist. 
Hier tritt nun aber ein sehr bemerkenswerther Umstand 
ein. Wenn nämlich &, / reelle Coefficienten haben, und über- 
