vom 45. April 1858. 271 
nach zweien der sogenannten Kreis- oder Nabelpunkte hingezo- 
genen kürzesten Linien eine constante Länge hat. Das ist in 
der That ein ausgezeichnet schöner Satz, aber freilich nicht so 
elementar, dals man nicht wünschen sollte, es möge die bezeich- 
nete Lücke in der sonst so ausgebildeten Theorie der Flächen 
zweiten Grades noch in anderer Weise ausgefüllt werden. 
Dieses ist nun ganz kürzlich von Hrn. Heilermann in 
Coblenz geschehn, der ohne von dem, was Jacobi und Ro- 
berts gefunden, etwas zu wissen, veranlalst durch die ange- 
führte Bemerkung von Chasles den Gegenstand auf’s Neue un- 
tersucht hat und dabei zu einer Reihe interessanter Resultate 
gelangt ist, nach welchen nunmehr nicht nur der von Chasles 
zunächst ins Auge gefalsten, sondern überhaupt jeder Eigenschaft 
der Kegelschnitte, bei der die Brennpunkte eine Rolle spielen, 
eine für die Flächen zweiten Grades geltende zur Seite gestellt 
werden kann. Ich erlaube mir, einige der von Hrn. Heiler- 
mann gefundenen Sätze, die derselbe mir brieflich mitgetheilt 
hat, der Akademie vorzulegen, in einer Anordnung, welche mir 
für die Vergleichung derselben mit den entsprechenden in der 
Theorie der Kegelschnitte die zweckmälsigste zu sein scheint, 
obwohl sie nicht grade in dieser Folge sich dargeboten haben. 
1. Legt man in irgend einem Punkte einer Fläche zwei- 
ten Grades, die einen Mittelpunkt hat, Schmiegungs-Ebenen an 
die in demselben sich schneidenden Krümmunsgslinien, so treffen 
diese jede Haupt-Axe in zwei Punkten, welche harmonisch gegen 
zwei feste, gleich weit vom Mittelpunkte abstehende liegen. 
Diese letztern mögen die der betreffenden Axe angehörigen 
Focal-Punkte heilsen. 
Bezeichnet man als erste Haupt-Axe diejenige, für welche 
das Quadrat des zugehörigen Durchmessers den gröfsesten, und 
als dritte die, für welche es den kleinsten Werth hat; so sind 
die Focalpunkte auf diesen reell, auf der mittlern aber imaginär. 
2. Die genannten Schmiegungs-Ebenen halbiren die Win- 
kel, welche von den durch ihre Durchschnittslinie und zwei 
Focal-Punkte derselben Axe gehenden Ebenen gebildet werden. 
3. Für alle Punkte einer Krümmungslinie ist das Product 
aus den Abständen der Schmiegungs-Ebene von zwei zusammen- 
gehörigen Focal-Punkten eine constante Gröfse. 
