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Gruson' s 



Die Summe der Entfernungen, velche ein Minimum >ver(len soll, lieifse u, 

 so hat man 



/}) u = « + ß + 7- 

 Zwischen den sechs unbekannten oder verändeilichen Gröfsen x,y,u,«,ß,'y 

 hat man also vier Gleicliuiigen, und man könnte vier diesrr Grofscn elimi- 

 niren, f o dafs u eine Function zweier derselben, z. B. der Coordinaten x und 

 y würde. Aber man kann, ohne diese Elimination wirklich zu machen, 

 welche ohnehin in manchen Fällen, so wie auch im gegenwärtigen, Schwie- 

 rigkeiten haben würde, so verfahren: 



Die Gleichung Nr. 4. dilFerentiirt , giebt 



du 



5) r- 



dx 



da dß d7 



dx dx dx 



du dx , dß , d7 

 6) — = 1 !- + — : = o 



dy dy dy dy 



für das IMinimum. 



Eben diese Gleichungen in Beziehung 

 auf y differentiirt, geben 



Act y — A 



Aus Nr. 1. in Beziehung aiif x diil'e- 

 reniiirt, erhält man 

 da X — a 



dx » 



Eben so aus Nr. 2. 



dß _ x — b 

 cü "~ ß 

 und aus Nr. 3. 



d7 X — c 



dx 7 



Wenn man diese Ausdrücke in den Gleichungen Nr. $, und 6. substi- 

 tuirt, so mufs seyn, 



X — a X — b X — c 



- + "- 



■'■ + '■ 



= o. 



und 



« ß ■ 7 



« ^ ß ^ 7 



Nun sind aber die drei Glieder der ersten dieser Gleichungen die Simu 

 der Winkel, welche die von dem gesuchten Pnnct D an die drei gegebenen 

 PuncLe gezogenen geraden Linien mit der Ordinate y machen, und die drei 



