geometrische Aufgabe über Mini/na. 13 



Glieder iler zv.citcn Gleichung sintl die Cosinus eben dieser Winkel; b;- 

 zeichnet man daher diese Winkel mit a', ß', y, so ist 



7) Sin a! -\- sin ß' -\- sin y = o, 



8) Cos a! -\- cos ß' -f- cos y = o. 

 Aus Nr. 7. folgt sin «' -{-sin ß^ ^ — sin 7', 



sin ' «' + 2 . sin «' . sin ß' -f" sin ' ß' = sin ' y, 

 und aus Nr. ß. Cos ' <»' -j- 2 cos «' . cos ß' -j- cos ' ß' = cos ^ 7' ; 



folglich iit X + i2 Cos («' — ß) -|- 1 = 1, 



Cos («' — ß) = — i. 



«' — ß' = 120°. 



Eben so findet sich am Nr. 7. und 8- 1 wenn man sin ß' und cos ß' auf di« 

 andere Seite des Gleichheitszeichens bringt, 



co3(«'-y) = — i 

 «' — y = 120° 



und eben so ß' — 7' = 120°. 



Der gesuchte Punct mufs also so liegen, dafs die aus demselben an die drei 

 gegebenen Tuncte gezogenen geraden Linien gleiche Winkel mit einander 

 machen, und es darf, wenn die Aufgabe möglich seyn soll, keiner der drei 

 Winkel des Triangels, an dessen Spitzen die drei gegebenen Puncte liegen, 

 grofser als 120° seyn. 



Dafs aber wirklich unter dieser "Voraussetaung ein Minimum statt 

 finde, kann so gezeigt werden. Man düFerentiire die Gleichimg Nr. 5. in 

 Beziehung auf x, so erhält man 



d^u «-(— ^)J^ . 3-C.-b)if 7-(x-c)l^ 



+ 



dx^ K» ' ß'' ' 7 



2 



ß 



+ o ' + 



r 



1' 



=K-(^?0> i[-B-y] + n-e-r)'} 



= i.Cüs*c-'+^ .Cos»ß'+ -.Cos'y. 



« ß 7 



