geometrische Aufgabe über JMinima. i5 



Hieraus folgt 



dl^ ■ 57^ ~ Vdx.dyy ~ 



— siu^ «'.cos^ß'— 2sina.'.cosß'.cos«'.sinß'+ cos- « .sin*ß' I 



-}- — sin- «'.cos*7' — asin«'.cos7'.cos«.'.sinY-|- cos^ «'.sin^7' 1 

 «7 L J 



+ -^ sin^ß'.cos*7' — asinß'.cos7'.cosß'.sin7'-f- cos^ß . sin'^ 7' 



ß7 L J . 



= _!_ sin*(«'_ß') + — sin\V-7') -f^sin* (ß'-7')- 

 «ß «7 ß7 



Al.-o ist, venn a, ß, 7 positiv sind,, mithin der gesuchte Funct inner- 

 halb des durch die drei gegebenen Piincte ge))ildeten Triangels liegt,, so- 



d^ii d^u . . , , . , d^n d^u /' d^u X^ 



wohl als - — - positiv, lind zugleich . ( I eine po- 



dx^ dy^ dx^ dy* Vdx.dyy 



silive Gröfse. Folglich findet -wirklich ein Minimum statt, wenn a, ß, 7 

 positiv sind, d. i. auf den Schenkeln der Winkel von I2a° selbst, nicht 

 aber auf ihren Verlängerungen liegen.. 



II. Soll die Summe der Producte der EntfernuTigen et, ß, 7 in die gege- 

 bene Zahlen n, n', n" ein Minimum werden, so wird man haben 

 II = n.« + n'.ß -}- n".7,. 



du d« dß d7 



— =n.- l-n-l f-n-T-. 



dx, dx dx dx 



X — a X — b „ x—e 



= n . ^- n' . — h n . 



« ß 7 



= n' . sin x' -\- n . sin ß' -|- n'' , sin 7'. 



du da dß „ d7 



dy dy dy dy 



= n . cos «' + n' . cos |S' + n". cos 7'. 



du du 



Da nun sowolü — als — =0 seyn müssen; so wird man, wenn 

 dx dy 



n" . sin 7' und n " . cos 7' auf die andere Seite des Gleichheitszeichens gebracht, 



und die Quadrate genommen werden, erhalten 



