i6 Gruson s 



n*.sin*«' -|- an.n'.sina'. cosß -|- "^•■'i»^ß= ""^-sii^y» 



n* .cos* « '+ 2n.n'.cüs«'.cos 7 + n* .cos- ß' = n"* .00^*7', 



• .^ . ' — - 



n* 4- an.n' (cos«' . cosp' -f- sin«' . sinß') + h'^. = n"^, 

 oder n^ -|- n'* + an.n' . cos («' — ß^ = »' '^j 



mithin cos («' — ß) = — , • 



2 11 . n 



Eben so finclet man, venn n'.sin«' und n'.cosß' auf die andere Seite des 

 Gleichheitszeichens gesetzt -werden, 



cos («' — ß') = — 

 liehe Weise 



£05 («' — ß')' = — 



fln.n" 

 und auf ähnliche Weise 



n'2 -f n"2 - 



an.n 



Die gegebenen Zahlen n,n', n" müssen also, wenn die Aufgabe möglich 

 seyn soll, so beschaffen seyn, dafs die Ausdrücke der Co.inus ächte Brüche 

 •werden, zu -welchem Ende je zAvei der gegebenen Zahlen zusammen genom- 

 men gröfscr seyn müssen als die dritte. 



Man denke sich einen Triangel verzeichnet, dessen Seiten sich -wie die 

 Zahlen n, n', n" rei halten, so -werden «' — ß', «' — 7', ß' — 7' die äufseren Win- 

 kel dieses Triangels seyn, und man -wird innerlialb des Triangels, an dessen 

 Spitzen die drei gegebenen Puncte liegen, einen Punct so bestimmen kcin- 

 nen, dafs die aus diesem Punct an die Spitzen des Triangels gezogenen gera- 

 den Linien die gegebenen Winkel 2 R — («' — ß), 2 R — {et! — Y), 2 R — (ß' — 7') 

 mit einander machen, -wenn anders diese Winkel gröfscr sind als die Win- 

 kel des iretreljenen Triangels. 



Als An-wendung kann die erste Aufgabe so eingekleidet -werden: 



Man hat in einer Kantonirung oder Winterpostinmg drei Posten A, B,C, 

 -welche die Lage eines spilz-winkligen Triangels bestimmen; man will zur 

 Sicheruns der Kommunikation zwischen diesen Posten noch einen vierten 

 Posten oder ein Piket irgendwo in D so stellen, dafs die dahin führenden 

 Kommunikationswege AD, BD und CD zusammen gekommen die möglichst 

 kleinen werden, wodurch nicht allein Zeit und Arbeit bei Anlegung der 

 Wege erspart, sondern auch der Vortheil erhalten wird, die beiden übrigen 

 Posten B und C auf dem kürzesten Wege sich in D vereinigen und A unter- 

 stützen 



