Elementar -Beweis, dafs die Basis e der natürlichen Logarith- 

 men durch keine rationale Zahl ausgedrückt werden kann, 

 nebst -verwandten Untersuchungen» 



Von. Herrn Gruson *). 



_l_jamLert hat in seinen Beiträgen II. Theil I- Abschnitt auf eine recht 

 scharfsinnige Art durch die Theorie der cotitinuirlichen Brüche erwiesen, 

 dafs die Zahl tt, die den Umfang des Kreises für den Durchmesser i aus- 

 drückt, irrational seyn mufs. — LeGendre hat im Anhange seiner Geo- 

 metrie diesen Beweis etwas kürzer und eleganter ebenfalls mittelst der con- 

 tinuirlichen Brüche dargestellt. — Diese Beweise erfordern aber noch im- 

 mer viel Anstrengung; ich habe es daher versucht, und es scheint mir ge^ 

 langen zu seyn, viel einfachere Beweise von der Irrationalität der Summen 

 solcher Reihen zu geben. — Laiaberts Verdienste in diesen Untersuchun- 

 gen scheinen noch nicht allgemein bekannt genug zu seyn, sonst würde man 

 selbst von Mathematik- Verständigen nicht hören imd lesen,, dafs es z. B. 

 gar nock nicf.t erwiesea wäre, dafs das Verhältnifs des Durchmessers zum 

 KreL-^umfange wirklich iiTational sey. — Kästner in der G'«*"' Auflage des 

 ersten Theils seiner Anfangsgründe der Malhematik Seite 34.2. 3 AnmerK. 

 sagt:. „In der Theorie könnte man noch suchen, ob sich das Verhältnifs des 

 „Ümfangs- zum Durchniesser nicht durch ein Paar bestimmte Zahlen voll- 

 „kommen darstelleni liefse. Vermuthlich ist dieses Verhältnifs irrational. 

 „Ich: sage vermttthlich,, denn. Sturms. Beweis davon. Mathes.. Enucl.. Lib. I. 



*) Vorgelesen den 3o. Januac 1817.. 



