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Gruson's Elejnentar- Beweis, dafs die Basis etc. 19 



§, 2. Vrop. 43. ift Zweifeln unterworfen." — Seite 3V3. führt Kästner 

 Lambert.') dahin gehörige Abhandhing zwar an, aber ich miifs aus der 

 vorher erwähnten Stelle schliefscn, Kästner habe Lamberts Unter- 

 juchungen nicht Aufmerksamkeit genug geschenkt, denn sonst wäre es unbe- 

 greiflich, wie «r noch so unbestimmt von einer ganz ausgeiaachten Sache 



sprechen könnte. 



1. 



/ 



Bekanntlich ist e =: i + 1 -| 4- 4- 1- • • • 



2 2.5 2.3.4 



Da die beiden ersten Glieder von dieser Reihe zusammen 2 betragen und 

 die Summe des übrigen Theils positiv ist, aber Icleiner als die oumme der Reihe 



1 r H r +..,= ' = 1 , so folgt, dafs 



e > 2 aber -< g. 



Nun behaupte ich ferner, dafs diese Reihe durch keinen Tationalen Bruch 



ausgedrückt werden kann, denn wäre sie einem nicht weiter aiifzuhebenden /; ^C* 



ni '?<)■?'• 



Bruche — gleich, so hätte man ^♦-•^ 



— = 2 + — + + -f- . . . [- J- . , , ^. , , . \ ■ ' 



n 2 2.3 2.3-4- 2...n 2...n.n-|-i 



Multiplizirt man diese Gleichung mit dem Product i.2.,.n der Reihe der na- 



• * • ' 



türlichen Zahlen bis zu derjenigen, die durch den Neimer des Bruchs — ange- 



n 



deutet wird, so ergiebt sich -^ 



ri.2...n — i].in = einer ganzen Zahl -\ 1 1 — + ..CA5 



*• n+i n+i,n4.2 n4-i.m.2.n-j-3 



Da nun 



— r 1 i r~ ~l" — i ; TT + • • • 



n+i n+i.n-f-s n-|- 1 .n -f- a.n -|- 3 

 kleiner ist als — 1 j — — + — j — -r -f- ... = . ^ — 



und da in der Gleichung (A) die erste Hälfte der Gleichung eine ganze Zahl 

 ist, so würde daraus folgen, dafs, wenn man zu einer ganzen Zahl einen 



Bruch kleiner als — addirte, das Resultat eine ganze Zahl seyn müfste, wel- 

 n 



Ca 



