ÄO Grusen s Elementar -Beivels , 



ches ungereimt ist; eben so ungereimt ist es, anzunehmen, dafi e eine ra- 

 tionale Zahl seyn soll, folglich ist e irrational. 



II. 

 Die Gleichung 



(X* x' X* V 



x+_4-_ + _ + ...) 

 234 y 



giebt für x = 1 



da nun Igo = — 00, so schliefst man daraus, dafs die Siunme der Glieder 



I + -+-+J-+7 + ... 



234-5 



unendlich grofs ist. 



Gestehen wir, dafs der hier gegebene Beweis nicht den Charakter der 

 #X^ vollkommensten Ueberzeugung hat, denn obgleich die Glieder beständig ab- 



'•^'^^ nehmen, so kann demungeachtet der Gang die>er Reihe doch nicht mit dem 



/V von einer abnehmenden geometr. Progression Terglichen werden, denn der 



iv->j-.^<; 



'' Verhältnifs- Nähme von zwei auf einander folgenden Gliedern nähert sich um 



7W**^/^so mehr der Einheit, je weiter sie von dem ersten Gliede der Reihe entfernt 



Co.^,^*c liegen, und in dem Uebergange von einem Gliede zum andern nimmt dieser 



/'^^^^,,^^/^y'erhälinifs -Nähme zu. Wir können also im Zweifel bleiben, ob die Reihe 



/j. p^A noch geeignet sey, den Werth der ersten Hälfte der Gleichung zu geben ; diese 



ji, <J><i/, Zweifel lassen sich in der That einigermaf>en heben, indem man die^e Reihe 



.f^ -r, "aücht mit einer abnehmenden geometrischen vergleicht, sondern mit dem, was 



^ x^ x3 X* 



'"■"^'^i^^^, /«US der Reihe x-^ { [ \- ... wird, wenn man x einen von der 



<~-^f>-. . . ^ 3 * 



_-^ j^ Einheit wenig unterschiedenen Werth giebt ; denn da bei dieser Voraussetzung 



^ , y, .... . .111 



^"j ein behebiges Glied der harmonischen Reihe i -f- — \ 1- — h • • • gröfser 



ysC als ein correspondirendes Glied der vorhergehenden Reihe ist, so folgt daraus, 



_ 9—r~^,i^ dafs die ganze harmonische Reihe dasjenige übertrifft, was aus der andern 



V'^ /$n Reihe wird, wenn man für- x einen kleinern Werth als 1 setzt, so wenig sie 



tXt^_,^, übrigens auch von dieser Einheit unterschieden seyn mag. Man kann es aber 



'^IKi^ so machen, dafs x so wenig von der Einheit unterschieden ist, dafs die erste 



Reihe eine beliebige Zahl übersteigt; folglich ist die Summe der Glieder der 



