dafs die Basis der natürlichen Logarithmen irrational ist. 2 1 



harmonischen Reihe auch viel gröfser als jede Gröfse; folglich ist sie un- 

 endJich grofe. 



Um jeden Zweifel, der über das Gesagte noch da seyn könnte, gänz- 

 lich zu verscheuchen, so wollen wir die in Rede stehende Reihe, unabhän- 

 gig von der Function, aus welcher sie entstand, betracliten, und zeigen, 

 dafs man wirklich die Einheit unendliche 3Ial darin findet; zu diesem Ende 

 wollen wir die Glieder der harmonischen Reihe 



2345678 

 9o zusammen ordnen, dafs jede Zusammenstellung alle Brüche enthalte, de- 

 ren Nenner diejenigen ganzen Zahlen sind, die zwischen einer Potenz von 2 

 bis zu der unmittelbar nächst folgenden höhern Potenz liegen; 



ZB. i+i = _JL_+ -^— 



2' + l 2» + 2 ' 2^ + 3 ' 2* + 2' 



allgemein 



' -II I - ' -n I — ' 



2"+l 2" +2 2" + 3 2''+ 2" 



Betrachten wir diese letztere Zusammenstellung, so findet sich, dafs die Sum- 

 me der Brüche, deren Anzahl a" ist, gröfser ist, als der letzte Bruch 



— — — - = — — (welcher zugleich unter allen der Kleinste ist), so viehnal 

 2-1-2 a 



genommen, als Brüche da sind, d. h. die Summe jener Brüche ist gröfser 



2" 1 



als — — = — ; da es hier nun so viel solche Zusammenstelluno^en Heben 



O '■ O De 



mufs, als Potenzen von 2 in der harmonischen Reilie sind, und da diese 

 Potenzen in unendlicher Anzahl vorhanden sind, so folgt daraus, dafs die 



Summe der Glieder der gegebenen Reihe unendlichemal enthalten, und 



folglich auch die Einheit selbst unendlichemal. 



Bei dieser Gelegenheit will ich noch ein sehr merkwürdiges Resul- 

 tat , welches man aus dieser Reihe erhält , berühren , aus welchem man ge- 

 neigt wäre, zu folgern, dafs der natürliche Log. von 2 gleich Null sey. 



