£y telwe in, Ueber die Vergleich, d. Differ. - Coejßc. etc. 29 



Binomial-Coefficient nio= i, der zureite mj = m, der dritte ra^-. 



in . m - 



1 .3 



w. s. w. 



Ferner ■werde zur Bezeichnung einer nnmerischen Fakultät, deren 

 erster Faktor sowolil als die DifTerenzen der aufeinander folgenden Fakto- 

 ren der Einheit gleich sind, eine eckigte Klammer gewählt, innerhalb -wel- 

 cher iich der letzte Faktor eingeschlossen belindet. Z.B. i .2 . 3.4. . 5 = [5]; 

 i.a.5.4.....n= [n]. 



2. 

 Nach der Lehre von den Differenzen der Funktionen ist, wenn m 

 eine positive ganze Zahl bedeutet, 



A'"y=y„ — m,y„_, + m^y^.,— ±ni2y2 + m, y. + y 



wcmj; m^'i m^;.,.. Binomial-Coeffieienten sind, und die obern Zeichen 

 für ein grades, die untern für ein ungrades m gelten. 



Man setze y=x'^ und Ax=h, so wird y;=(x + h)''; yj = (x+ ah)';... 

 y„ = (x -f- ni h)^ Diese Werthe in vorstehenden Ausdruck gesetzt und die 

 Potenzen nach dem binomischen Lehrsatze entwickelt, so findet man, wenn 

 durch r 



2 > *3 5 ' 



ebenfalls Binomial-Coefficienten angedeutet werden i 



A"'x'=+i 



— mj 

 -fm. 



m. 



x' -f- m 



— m, (m — 1) 

 + m2(m--2) 

 . * ■ • . 



X m, . 1 



rjhx'~'+ m} 



— mj (m — 1) 

 + m2(m — 2) 



m, . s.' 



Xm, 



r,h»x'-' 



..+ m' 

 — m, fm — 1)' 

 + ma(m — 2) 



m— 1 



,m-» 



:rn»2 



rm-,h'"~'x'-'»+'+ m» 



— m,(m — 1)" 

 + m2(m-2)" 





rnh^x'-" + ... 

 u. s. w. 



Weil aber nach den Eigenschaften der Reihen mit Binomial-Coeffi- 

 cienten hier alle dem m+i'«" Gliede vorangehende Coefficienten =0 wer- 

 den, so ündet man: 



