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= 1 ■„ jm" — m.Cm-i)" -|- m^ (m-a)" —...-+ uij .2" +m,.i« | h" x'"" 

 + r,n+. |m"+'-m, (m-i)"'+' + maCm-2)°'+'-... + mj. a^+' + m, . i^+'j h■^'x'-"'-' 

 + r^ | m"'^^' - m ^ (m - 1 )"4-' + m j (m - a)"*" - . . . + uig . g"^' Ijl m , . 1 ■"+' | h'"+' x^-»-' 

 -f- u. s. w. 



Erhalten die in grofse Klammern eingeschlossene Reihen den Namen 

 der Differenz -Coefficienten, und man setzt: 



"■D = m" — m, (m — i)" + m^Cm — e)" — ... ± m^ . 2" + m, . i™ 

 '"D,=m"+' — m,(m — i;""+'-f mj(ra — 2)""+'— ... ± 1112.2"'+' TJui, . 1""+' 

 -D2=ui'"-'' — nij(m— i)'"+' + nij(m — 2)"^— ... + mj.s""'" + m, . i"'*' • 



u. s. \r., io wird 

 (1) ■"D.,=ui'"+"-m, (m-i)"*"+mj(m-£)"°+"'-m3(m-3)"'+'+... + m2tt-"'-'' + m, i»+° 



•wo die obern Zeichen für ein grades, die untern für ein ungrades m 



gelten. 



Hiernach ist ""D,, der n+i*"^ DifFerenz-Coefficient in der Reihe der 



m'«'' Diß'erenzen, vmd es -wird °D„ = o; ^D^ = 1 und °D„ = o. 

 Dieser Beziehung geniiils ist: 

 .1];; A" X' = r„ -=0 h"' yJ-" + r„^, "D , h-"-^' x'—" ' + r„^.-D 3, h""^' x"^-""' + . . . . 



S- 



In (l) ?. £. -werde n~ 1 statt n und m — x statt m, dann aber 

 ui -\- n — 1 =p gesetzt, dies giebt: 



"■iJu . — ai'' — m, (m— i)P+ni2(m— =)'' - m, (m— 3)^ + ... Im^ cP + m, 

 "'-'D,.= 4-(m-r7 — (m-i;,':m-2/ + (n>i),(m-3)P — ... + (in.i)j2''J:(m-0. 

 Beide Reihten zusammen addirt und mit m muliip'icirV, giebt 



m (--D. + ■"!?,, _.^ = 



n»:»_ni(m-i)(m-i)P + m|m, — (m-O,! :ui-27 — m|m3 — (m-i),|(m-5)''... 



•+ m jni2 — (ni — i^A ai" + m jm; — (m — i), | ii". 



Nun ist, -wenn i\ irgend eine positive ganze Zahl bedeutet, nach den Eigen- 

 schaften der Binomial-Coefficienten 



m|mq— (m— i)^_.|=(m— q).m, und m | m^ — (ni — i;,j_, ( =(! n,,, flah»r 

 mC^-'D,. -"■!:)„ .) = m'"+"-m,(m.i)"'^"-l ii-^ (m- ;/■" — . ..±»13 1°"' + m, 1'°^" 



